【文章內容簡介】 為 y 的方差， 則式（ 16）和（ 17）可以分別寫成 最小 二乘法原理， VC++實現(xiàn)及應用 8 ???????????????????mymmnmmymmymmrarararrarararrararar39。39。2239。11239。239。22239。121139。139。21239。111????? （ 18） 和 ?????????????????????????????????????????myyymmmmmmmrrraaarrrrrrrrr??????? 2139。39。239。1212222111211 （ 19） 其中 jjiiijij SSSr ? ，yyiiiyiy SSSr ? （ 20） 分別稱為 ix 與 jx ， ix 與 y 的相關系數(shù)，表現(xiàn)相互間線性相關的程度。 1?iir ， 1?ijr 。當10 ??ijr 為正相關；當 01 ??? ijr 為負相關， ijr 越接近 1，則線性相關越好； ijr 越接 近于 0，則線性關系越弱。 由方程（ 16）和（ 17）求解 maaaa , 210 ? 比較直觀，計算較為簡單。由方程（ 18）和（ 19）求解 maaaa , 210 ? 較為復雜，但計算誤差較小，計算后由 39。jjjyyj aSSa ? （ 21） 求得 ja ，再由式（ 13）計算 0a ，得到線性擬合函數(shù)的具體表達式 mm xaxaxaay ????? ?22110 （ 22） 如果試驗是要通過 yx, 的測量來尋找經驗公式，則還應判別由上述擬合所得的方程是否恰當。這可由 yx, 的相關系數(shù) ? 來判別 [6]： ??? ??????????22 )()()()(yyxxyyxxiiii? 最小 二乘法原理， VC++實現(xiàn)及應用 9 第三章 最小二乘法曲線擬合的 VC++實現(xiàn) 在這一章，我們將把最小二乘法曲線擬合在 VC++的平臺上實現(xiàn)出來，利用其可視化界面，給曲線擬合帶來便利。 程序實現(xiàn)最小二乘 算 法 及流程圖 根據(jù)上一章 節(jié)總結出最小二 乘線性擬合算法的具體步驟為： 步 1. 由方差公式 ? ?? ? ?????nini iiii xaayaaxyaaQ 1 121021010 )()),。((),( ?求偏導獲得方程組 ???????????? ????? ????niniiiniiiniiniiyxaxaxyaxna1 111201110)()()( 步 ?????????????nxxxA 1 1 121?? 步 A 的轉置矩陣 ??????? nxxxB 1 1 121 ?? 步 4.???????????????? ??? ??niniiiniixxxnCBA1 121 ，?????????????????????????????????? ????? ??niiiniininiiiniiyxyaaxxxn11101 121 解方程組 獲得系數(shù) 10,aa 步 5. 計算??? ??????????22 )()()()(yyxxyyxxiiii? 步 6. 輸出運算結果 最小 二乘法原理， VC++實現(xiàn)及應用 10 根據(jù)以上步驟總結出算法 流程圖如下： 圖 2 系統(tǒng) 流程圖 界面設計 所有的算法是在 VC++ 下設計的，我們只需運行程序，在視圖中將顯示結果 .所有的操作請參看下圖： 開始 輸入 擬合次數(shù) T， 坐標點數(shù) N，輸入 x,y 坐標 獲得矩陣 A 獲得 A 矩陣的逆矩陣 B B 獲得矩陣 C 解方程組 獲得系數(shù) 10,aa 計算 x， y 平均值 計算相關系數(shù) γ 輸出 結束 最小 二乘法原理， VC++實現(xiàn)及應用 11 圖 3 程序界面 查看版本信息 圖 4 幫助信息 選擇菜單 [曲線擬合 ]下的 [輸入?yún)?shù) ]，將彈出 [輸入?yún)?shù) ]對話框，如圖： 圖 5 選擇功能 運行程序，點擊 “曲線擬合 ”，選擇 “輸入?yún)?shù) ”（必輸項）。 最小 二乘法原理， VC++實現(xiàn)及應用 12 圖 6 參數(shù)窗口 參數(shù)窗口中， “輸入 T 值 ”，為 擬合次數(shù)，必錄項（整型），即： 1?T 時，擬合曲線為線性一次函數(shù)。 2?T 時，擬合曲線為二次函數(shù)形式。 “輸入 N 值 ”，為將要進行擬合的離散點數(shù)量，必錄項（整型），離散點數(shù)量越多，擬合出的曲線更加精確。 “輸入 x 坐標 ”，每個數(shù)據(jù)點的 x 坐標值（浮點型），空格隔開。數(shù)量根據(jù) N 值確定。 “輸入 y 坐標 ”，每個數(shù)據(jù)點的 y 坐標值（浮點型），空格隔開。數(shù)量根據(jù) N 值確定。 在輸入完參數(shù)值后，點擊 “確定 ”按鈕，得到返回值窗口。 圖 7 運算結果 最小 二乘法原理， VC++實現(xiàn)及應用 13 實際使用中，可能出現(xiàn)對第一次擬合結果不滿意，因此添加修改 T 值欄： 圖 8 修改 T 值 點擊修改 T 值，出現(xiàn)如下窗口： 圖 9 輸入數(shù)值 此時只需輸入要擬合的次數(shù)，不 需要再次輸入其他參數(shù)值。 圖 10 運算結果 最小 二乘法原理， VC++實現(xiàn)及應用 14 主要函數(shù)類 在 VC++程序設計語言中所有程序均由函數(shù)組成，函數(shù)是 VC++程序編譯的基本單位。VC++函數(shù)通常分為自定義函數(shù)與庫函數(shù)。主函數(shù)是用戶自定義的函數(shù)，所有函數(shù)都由函數(shù)類型、名稱、參數(shù)和函數(shù)體四個部分組成。 class LeastSquare { public: int N。 int T。 float xishu。 public: LeastSquare()。 virtual ~LeastSquare()。 float pow_n(float a,int n)。 //a 的 n 次方 void mutiple(float **a,float **b,float **c)。 //矩陣 A矩陣 B=矩陣 C void matrix_trans(float **a,float **b)。 //矩陣 B=矩陣 A 的轉置 void init(float **x_y,float x[],float y[],int n)。 //n 組坐標點的數(shù)組 void get_A(float **matrix_A,float **x_y,int n)。 //得到矩陣 A void print_array(float **arr,int n)。 //輸出矩陣 void convert(float **argu,int n)。 //將方程組轉化為上三角方程組 void pute(float **argu,int n,float root[])。 //解方程組 void get_y(float **trans_A,float **x_y,float y[],int n)。 void cons_formula(float **coef_A,float y[],float **coef_form)。 void print_root(float a[],int n)。 void process(float x_point[],float y_point[],float result[])。 void setN(int n)。 void setT(int t)。 float getXiShu(float x_point[],float y_point[])。 //獲得相關系數(shù) }。 變量定義 用途 int N 離散點個數(shù) fnt T 擬合次數(shù) float xishu 誤差系數(shù) float **a 定義 a float **b 定義 b float **c 定義 c float **coef_A 系數(shù)矩陣 A float x_point x 系數(shù) 表 1 函數(shù)變量聲明 最小 二乘法原理， VC++實現(xiàn)及應用 15 程序設計中的問題 下面我們來總結一下程序設計中的一些問題，以及未實現(xiàn)的算法： １． 修改 T值之后，重復調用算法。 ２． 輸入坐標點時，若輸入為字母，應提示錯誤，功能未實現(xiàn)。 ３． 坐標點輸入過程中，輸入坐標點個數(shù)不足時，未能提示信息。 ４． 特殊形式的函數(shù)如指數(shù)函數(shù)， 對數(shù)函數(shù)的擬合未實現(xiàn)。 ５． 程序只能完成一次、二次函數(shù)擬合可繼續(xù)修改完善程序方便使用。 最小 二乘法原理， VC++實現(xiàn)及應用 16 第四章 最小二乘法的應用 上一章我們介紹了最小二乘法的 VC++編程實現(xiàn)，在這章，我們利用最小二乘法和編制的程序來處理幾個實際的問題，簡要展示一下程序功能。 測定銅絲的電阻溫度系數(shù) 以惠斯通電橋測定銅絲在不同溫度下的電阻值試驗為例，簡要說明程序的實用性。 任何物質的電阻都與溫度有關，多數(shù)金屬的電阻隨溫度升高而增大，有如下關系：)1(0 taRR Rt ?? ，式中 tR 、 0R 分別是 t℃ 、 O℃ 時金屬的電阻值， Ra 是電阻溫度系數(shù)，其單位是 ℃ 1。 Ra 一般與溫度有關，但對于實驗用的純銅材料來說，在 50℃ ～ 100℃ 的范圍內，Ra 的變化非常小，可當作常數(shù)，即 tR 與 t 呈線性關系[14],下表為實驗采集數(shù)據(jù)： 銅絲溫度 電阻數(shù)據(jù)表 序號 溫度 t / ℃ 電阻 R/? 1 2 3 4 5 6 7 8 表 2 銅絲電阻實驗采集數(shù)據(jù) 最小 二乘法原理， VC++實現(xiàn)及應用 17 圖 11 數(shù)據(jù)點示意 根據(jù)離散點分布情況判斷出，曲線大致走向類似于直線，則采用直線擬合：xaaxy 10)( ?? ix iy ??xxi ??yyi ??????