計算機20xx組合數(shù)學—ch(編輯修改稿)
2025-06-19 22:52 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 證法。假定存在 2階幻方，如圖所示： a1 a2 a3 a4 根據(jù)幻方的定義，它的幻和是 5，于是a1+ a2= a1+ a3=5，可得 a2= a3，因為 a1， a2， a3， a4必定彼此不同，所以不可能，矛盾。因此不存在 2階幻方。 2021年 6月 14日 23 （二） 幻方的構(gòu)造性問題 （ 1）奇數(shù)階幻方的構(gòu)造 連續(xù)擺放法（ de la Loub232。re法）。 規(guī)則為： 假定構(gòu)造 n階（ n為奇數(shù)）幻方 。 首先 將 1放在 (n+1)/2列第 1行的方格中， 然后 按照副對角線方向（即行號減 1，列號加 1）依次把從小到大的各個數(shù)字放入相應(yīng)的方格中。 2/)1( ?n2021年 6月 14日 24 如果行號變成 0（第 1行上面一行），則改成第 n行相應(yīng)列對應(yīng)的方格。 如果列號變成 n+1（第 n列右面一列），則改成第 1列相應(yīng)行對應(yīng)的方格。 如果輪到的方格已經(jīng)填有數(shù)字或者到了第 0行第 n+1列對應(yīng)的方格，則退到前一個方格正下方的方格。 25 例 利用連續(xù)擺放法構(gòu)造 5階幻方 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 即行號減 1，列號加 1 26 （ 2）偶數(shù)階幻方的構(gòu)造 當 n=4k的時候，即雙偶數(shù)的情況 ， 對稱法。 先把 n n的方陣分成上、下、左、右四個 2k 2k的方陣。 然后對于左上的 2k 2k方陣進行處理，每行每列任意取一半（ k個）的方格做標記，如我們把這些方格涂成陰影。 27 然后按照對稱軸將這種標記方式向下和向右作對稱圖形。經(jīng)過處理后使得 n n的方陣的每一行和每一列都有一半（ n/2）的方格被涂成陰影。 接下來，把從 1開始的數(shù)字依次往方格里面填。第一遍：從第 1行第 1列的方格開始往右，不是陰影，則填數(shù)字，如果是陰影的方格，不填數(shù)字，但相應(yīng)的數(shù)字加 1。第 1行填完后，是第 2行第 1列的方格，依次，最后是第 n行第 n列的方格。 28 這樣填完之后，有一半的方格被填上了數(shù)字。 第二遍，從第 n行第 n列的方格開始依次往左，規(guī)則同前，從 1開始的數(shù)字依次往方格 里面 填。第 n行結(jié)束之后，是第 n1行第 n列的方格。依次，最后是第 1行第 1列的方格。 最后就得到了幻方。 2021年 6月 14日 29 例 利用對稱法構(gòu)造 4階幻方 2 14 3 15 8 12 5 9 2 11 7 14 3 10 6 15 13 8 12 1 16 5 9 4 30 當 n=4k+2,所謂的單偶數(shù)的情況 。 首先把 n n的方陣分成上、下、左、右四個 (2k+1) (2k+1)的方陣 ,為了表達方便，依次把左上、右下、右上、左下的方陣編號為 A,B,C,D。 采用連續(xù)擺數(shù)法，把 1～ (2k+1)2放在A中做成第一個幻方；把 (2k+1)2 ＋ 1～2(2k+1)2放在 B中成第二個幻方。 31 把 2(2k+1)2＋ 1～ 3(2k+1)2放在 C中成第三個幻方。 把 3(2k+1)2＋ 1～ 4(2k+1)2放在 D中成第四個幻方。 然后，在 A的各行從第 1列開始向右取 m個 (m=(n2)/4)方格，但中間一行（ k+1行）從第 2列開始。 把這些方格中的數(shù)字與 D中相應(yīng)位置的數(shù)字對換。 在 C中各行最后一列右起向左各取m－ 1個方格，把這些方格中的數(shù)字與B中相應(yīng)位置的數(shù)字對換。最后，就得到了幻方。 32 33
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