【文章內(nèi)容簡介】 （2）由（1）得∠FBE=∠BFG=25176。，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AB∥CD，∠CDE=50176。，∴∠BED=∠CDE=50176。，∵EG平分∠DEB，∴∠DEQ=25176。，∵∠F=25176。，∴BF∥EG，∵FB⊥BD，∴EG⊥BD；（2）由（1）得∠FBE=∠BFG=25176。，∵∠FBD=90176。，∴∠EBD=65176。，∵AB∥CD，∴∠CDB=115176。．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖，AD平分∠BAC交BC于點D，點F在BA的延長線上，點E在線段CD上，EF與AC相交于點G，∠BDA+∠CEG=180176。．（1）AD與EF平行嗎？請說明理由；（2）若點H在FE的延長線上，且∠EDH=∠C，則∠F與∠H相等嗎，請說明理由．【答案】見解析【解析】分析：（1）求出∠ADE+∠FEB=180176。，根據(jù)平行線的判定推出即可； （2）根據(jù)角平分線定義得出∠BAD=∠CAD，推出HD∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠H=∠CGH，∠CAD=∠CGH，推出∠BAD=∠F即可．詳解：（1）AD∥EF． 理由如下：∵∠BDA+∠CEG=180176。，∠ADB+∠ADE=180176。，∠FEB+∠CEF=180176。 ∴∠ADE+∠FEB=180176。，∴AD∥EF； （2）∠F=∠H，理由是：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD． ∵∠EDH=∠C，∴HD∥AC，∴∠H=∠CGH． ∵AD∥EF，∴∠CAD=∠CGH，∴∠BAD=∠F，∴∠H=∠F．點睛：本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道比較好的題目，難度適中．如圖，將△ABC平移，可以得到△DEF，點B的對應(yīng)點為點E，請畫出點A的對應(yīng)點D、點C的對應(yīng)點F的位置，并作出△DEF．【答案】見解答過程.【解析】試題分析：連接BE，過A、C分別做BE的平行線，并且在平行線上截取CF=AD=BE，連接ED，EF，DF，得到的△DEF即為平移后的新圖形．試題解析：如圖閱讀材料：如圖1，點是直線上一點，上方的四邊形中，延長，探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明.小白的想法是：“作（如圖2），通過推理可以得到，從而得出結(jié)論”.請按照小白的想法完成解答：拓展延伸：保留原題條件不變，平分，反向延長，交的平分線于點（如圖3），設(shè)，請直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）.【答案】閱讀材料：，見解析；拓展延伸：.【解析】【分析】（1）作，，由平行線性質(zhì)可得，結(jié)合已知，可證，進而得到，從而，將代入可得.（2）過H點作HP∥MN，可得∠CHA=∠PHA+∠PHC，結(jié)合（1）的結(jié)論和CG平分∠ECD可得∠PHC =∠FCH =120176。，即可得.【詳解】解：【閱讀材料】作，（如圖1）. ∵，∴.∴.∵，∴.∴.∴.∵，∴.∵，∴.∴，.∴.∵，∴.【拓展延伸】結(jié)論：.理由：如圖，作，過H點作HP∥MN，∴∠PHA=∠MAH=，由（1）得FC∥MN，∴FC∥HP，∴∠PHC=∠FCH，∵,CG平分∠ECD，∴∠ECG=20176。+，∴∠FCH==180176。()(20176。+)=120176?！唷螩HA=∠PHA+∠PHC=+（120176。）=120176。即：.【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，運用等角的余角（補角）相等進行推導(dǎo)．余角和補角計算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．解題時注意方程思想的運用．探究規(guī)律：我們有可以直接應(yīng)用的結(jié)論：若兩條直線平行，那么在一條直線上任取一點，無論這點在直線的什么位置，：如圖1，兩直線∥，兩點，在上，⊥于，⊥于，則.如圖2，已知直線∥，為直線上的兩點，.為直線上的兩點.（1）請寫出圖中面積相等的各對三角形： .（2）如果，為三個定點，點在上移動，那么無論點移動到任何位置，總有： 與的面積相等；理由是： .解決問題：如圖3，五邊形是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已變成如圖4所示的形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路（圖4中折線）還保留著，張大爺想過點修一條直路，直路修好后，按張大爺?shù)囊笤O(shè)計出修路方案.（不計分界小路與直路的占地面積）（1）寫出設(shè)計方案，并在圖4中畫出相應(yīng)的圖形；（2）說明方案設(shè)計理由.【答案】探究規(guī)律：（1）和，和，和；（2）； 同底等高的兩個三角形的面積相等；解決問題：（1）方案見解析；（2）理由見解析.【解析】分析：(1)根據(jù)同底等高的三角形的面積相等與三角形的面積的和差關(guān)系求解；(2)①結(jié)合三角形的面積公式回答；②根據(jù)平行線間的距離處處相等和同底等高的兩三角形面積相等設(shè)計方案.詳解：(1)和，和，和.(2)；同底等高的兩個三角形的面積相等.連接，過點作的平行線交于點，連接，就是所求的道路.設(shè)EF交CD于點H，∵EC∥DF，∴D和F點到EC的距離相等(平行線間的距離處處相等)，又∵EC＝EC，∴S△ECF＝S△ECD(同底等高的兩三角形面積相等)，∴S五邊形ABCDE＝S五邊形EDCMN，S五邊形EDCMN＝S四邊形EFMN．即：EF為直路的位置可以保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多點睛：當(dāng)△ABC的BC邊長確定時，過點A作BC的平行線l，則l上的任意一點P與點B，C所成△PBC的面積都等于△ABC的面積.如下圖，按要求作圖：(1)過點P作直線CD平行于AB．(2)過點P作PE⊥AB，垂足為O.【答案】作圖見解析【解析】分析：利用題中幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形．詳解：如圖，CD和點O為所作．點睛：本題考查了作圖復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，直線AB∥CD，E是AB與CD之間的一點，連接BE，CE，可以發(fā)現(xiàn)∠B+∠C=∠BEC．請把下面的證明過程補充完整：證明：過點E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（　 　 ）∴∠C=∠CEF．（　 　 ）∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF（同理），∴∠B+∠C=　 　 （等式性質(zhì)）即∠B+∠C=∠BEC．（2）拓展探究：如果點E運動到圖②所示的位置，其他條件不變，求證：∠B+∠C=360176。﹣∠BEC．（3）解決問題：如圖③，AB∥DC，試寫出∠A、∠C、∠AEC的數(shù)量關(guān)系　 　 ．（直接寫出結(jié)論，不用寫計算過程）【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）∠C+∠AEC∠A=180.【解析】【分析】（1）過點E作EF∥AB，根據(jù)平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可；（2）過點E作EF∥AB，根據(jù)平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可；（3）過點E作EF∥AB，根據(jù)平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．【詳解】（1）證明：如圖①，過點E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠C=∠CEF．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF（同理），∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF（等量代換）即∠B+∠C=∠BEC，故答案為：平行于同一直線的兩直線平行，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，∠BEF+∠CEF；（2）證明：如圖②，過點E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠C+∠CEF=180176。，∠B+∠BEF=180176。，∴∠B+∠C+∠AEC=360176。，∴∠B+∠C=360176?！螧EC；（3）解：如圖③，過點E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠C+∠CEF=180176。，∠A=∠AEF，∴∠CEF=∠ACE－∠AEF，∴∠C+∠AEC∠A=180176。.【點睛】考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，注意：①兩直線平行，內(nèi)錯角相等，②兩直線平行，同位角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．如圖，AB∥CD,分別探索下列四個圖形中∠P、∠A、∠C，發(fā)現(xiàn)有如下三種數(shù)量關(guān)系：∠A+∠C =∠P ；∠P+∠A =∠C ；∠P+∠C =∠A，請你選擇其中的兩種數(shù)量關(guān)系說明理由.(1)我選擇的是圖 ，數(shù)量關(guān)系式是 .理由：(2) 我選擇的是圖 ，數(shù)量關(guān)系式是 .理由：【答案】選圖1，見解析；選圖2，見解析；選圖3，見解析；選圖4，見解析.【解析】【分析】（1）首先過點P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可求得答案；（2）首先過點P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求得答案；（3）由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可求得∠1=∠C，又由三角形外角的性質(zhì)，即可求得答案；（4）由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可求得∠1=∠A，又由三角形外角的性質(zhì)，即可求得答案．【詳解】（1）∠A+∠P+∠C=360176。．理由：過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠A+∠1=180176。，∠2+∠C=180176。，∴∠A+∠C+∠APC=∠A+∠1+∠2+∠C=360176。．（2）∠P=∠A+∠C．理由：過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠1=∠A，∠2=∠C，∴∠APC=∠1+∠2=∠A+∠C．（3）∠C=∠A+∠P．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠C，∵∠1=∠A+∠P，∴∠C=∠A+∠P；（4）∠A=∠C+∠P．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠A，∵∠1=∠C+∠P，∴∠A=∠C+∠P．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等與兩直線平行，同旁內(nèi)角互補定理的應(yīng)用，注意輔助線的作法．已知：直線 AB∥CD，點 M，N 分別在直線 AB，CD 上，點 E 為平面內(nèi)一點。（1）如圖 1，∠BME，∠E，∠END 的數(shù)量關(guān)系為 ；（直接寫出答案）（2）如圖 2，∠BME=m176。，EF 平分∠MEN，NP 平分∠END，EQ∥NP，求∠FEQ 的度數(shù)．（用含 m 的式子表示）（3）如圖 3，點 G 為 CD 上一點，∠BMN=n