【正文】 b c、 、 ，已知 a b c、 、 成等比數(shù)列， 且3cos 4B? （Ⅰ）求 cot cotAC? 的值 （Ⅱ）設(shè) 32BA BC??，求 ac? 的值。 正余弦定理在解決三角形問題中的應(yīng)用 典型例題分析： 一、判定三角形的形狀 例 1 根據(jù)下列條件判斷三角形 ABC的形狀： (1)若 a2tanB=b2tanA； 解：由已知及正弦定理得 (2RsinA)2 BcosBsin= (2RsinB)2 ?AcosAsin 2sinAcosA=2sinBcosB? sin2A=sin2B? 2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o 或 A – B=0 所以△ ABC是等腰三角形或直角三角形 . (2)b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC。－∠ A－∠ B=120176。問這人以 v的速度至少還要走多少 h才能到達(dá) A城。 解：由正弦定理 ，由余弦定理 ，所以應(yīng)填 。= . 注：在應(yīng)用正弦定理解題時要注意方程思想的運(yùn)用。 注：在三角形中，已知兩角一邊求其它邊，自然應(yīng)聯(lián)想到正弦定理。 圖 1 分析：要求最短邊的長，需建立邊長關(guān)于角α的目標(biāo)函數(shù)。 解：因?yàn)樗倪呅?ABCD是圓內(nèi)接四邊形，所以 A+C=180176。故此人以 v的速度至少還要走 3h才能到達(dá) A城。 證明：由余弦定理知 ，兩式相減得。連結(jié) BD，則四邊形 ABCD的面積 ?！?B=60176。因?yàn)椤?DEC=∠ DEF+α =∠ EDB+∠ B，所以∠ EDB=α。所以 20 16cosA=52 48cosC, 又因?yàn)?cosC = cosA，所以 64cosA= 32， cosA= , 所以 A=120176。故等式成立。設(shè) AD=x， AC=y。 解：（Ⅰ）由 3cos 4B? 得 237s in 144B ??? ? ????? 由 2b ac? 及正弦定理得 2si n si n si nB A C? 于是 11c o t c o t ta n ta nAC AC? ? ? cos cossin sinAC?? c o s s in c o s s ins in s inA C C AAC?? ? ?2sinsinACB?? 2sinsinBB? 1sinB? 4 77? （Ⅱ）由 32BA BC??得 3cos 2ca B??，由 3cos 4B? 可得 2ca?