【正文】 幾何中有關(guān)判斷線線垂直、異面直線所成角的大小問題 ，通?？梢赞D(zhuǎn)化為求向量的數(shù)量積和求向量的夾角得到．如果幾何體中存在過同一點的三條直線兩兩互相垂直，則可通過建立空間直角坐標系求解． 研一研 問題探究、課堂更高效 ∴????? x ＝ 6 ，y － 2 ＝－ 4 ，z － 3 ＝－ 2 ，或????? x ＝－ 6 ，y － 2 ＝ 4 ，z － 3 ＝ 2. 解得????? x ＝ 6 ，y ＝－ 2 ，z ＝ 1 ， 或????? x ＝－ 6 ，y ＝ 6 ，z ＝ 5. 故所求點 P 的坐標為 (6 ，－ 2, 1) 或 ( － 6, 6, 5) ． 本課欄目開關(guān) 填一填 練一練 研一研 ( 2) 由題中條件可知： AB→＝ ( － 2 ，－ 1,3) ， AC→＝ (1 ，－ 3,2) ， ∴ c os 〈 AB→， AC→〉＝AB→ ( CA→＋ CB→) ＝ ( OA→＋ OB→) b ＋ b2＋ a c ) ； ③ m|b| － |a| b ＝ 交換律 a b ＝ . 特別地， a b的定義？ 答案 已知兩個非零向量 a ， b ，則 |a| | b | c os 〈 a ， b 〉叫做a ， b 的數(shù)量積，記作 a 問題探究、課堂更高效 解 ( 1) ∵ AC ′→＝ AB→＋ AD→＋ AA ′→， ∴ |AC ′→|2＝ ( AB→＋ AD→＋ AA ′→)2 ＝ |AB→|2＋ |AD→|2＋ |AA ′→|2＋ 2( AB→ OB→； ( 2) ( OA→＋ OB→) b 等于什么？ 研一研 問題探究、課堂更高效 又 OQ→ ＝ λ OP→ ＝ 43 ( 1,1 ,2) ＝ ??? ???43 ， 43 ， 83 . 所以，所求點 Q 的坐標為 ??? ???43 ， 43 ， 83 . 本課欄目開關(guān) 填一填 練一練 研一研 探究點三 數(shù)量積的幾何應(yīng)用 例 3 如圖所示，在棱長為 1 的正方體 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 、 F 分別是 D 1 D 、 BD 的中點， G 在棱 CD 上，且 CG ＝14CD . (1) 求證： EF ⊥ B 1 C ； (2) 求 EF→與 C 1 G→夾角的余弦值． 研一研 當堂檢測、目標達成落實處 2 ．已知向量 a ＝ ( 1,1 ,0) ， b ＝ ( － 1,0 ,2) ，且 k a ＋ b 與 2 a － b 互相垂直，則 k 的值是 __ ___ ___ ． 解析 依題意 ( k a ＋ b ) 當堂檢測、目標達成落實處 解析 |2 a － 3 b | 2 ＝ 4 a 2 － 12 a ＋ 9 3 2 ＝ 61 ， ∴ |2 a － 3 b |＝ 61 . 61 本課欄目開關(guān) 填一填 練一練 研一研 1 ． 數(shù)量積的運算一般有兩種途徑：一是通過向量的分解與合成轉(zhuǎn)化為其他已知模和夾角的向量，利用定義式運算；二是通過建立坐標系，引入坐標運算，這樣可以在一定程度上簡化運算． 2 ．有關(guān)數(shù)量積的運算應(yīng)注意的問題： ( 1) 與數(shù)乘運算區(qū)分開，數(shù)乘運算的結(jié)果仍是向量，數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量． ( 2) 書寫規(guī)范：不能寫成 a b 也不能寫成 ab . ( 3) 數(shù)量積運算不滿足 結(jié)合律，也 不滿足 消去律， 即( a b ＋ 2 a B 1 C→＝12 ( － 1) ＋12 0 ＋??????－12 ( － 1) ＝ 0 ， ∴ EF→⊥ B 1 C→. ∴ EF ⊥ B 1 C . 研一研 b ＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＋ z 1 z 2 . 兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標的乘積的和． 問題 2 利用兩個向量數(shù)量積的坐標運算，你還能得到哪些結(jié)論？ 答案 當 b ＝ a 時，可以得到向量 a 的長度公式 |a |＝x21 ＋ y21 ＋ z21 ； c os 〈 a ， b 〉＝x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＋ z 1 z 2x21 ＋ y21 ＋ z21 問題探究、課堂更高效 解 ( 1) OA→ AA ′→＋ AD→