【正文】 0 ), 則 AB 所在直線方程為y= 3 ( x 1 ), 代入橢圓方程并整理得 19x2 30x 5=0. 設(shè) A ( x1, y1), B ( x2, y2), 則 x1+ x2=3019,x1x2= 519. 所以 | AB | = 1 + kAB2|x1 x2| = 2 ( x1+ x2)2 4 x1x2 =2 3019 2 4 519 =32 519. 所以弦 AB 的長為32 519. 專題一 專題二 專題三 專題四 2 . 由弦長求曲線的方程 【應(yīng)用 2 】 橢圓 ax2+ b y2=1 與直線 x + y 1=0 相交于 A , B 兩點 , C 是 AB的中點 , 若 | AB | = 2 2 , OC 所在直線的斜率為 22, 求橢圓的方程 . 解 :聯(lián)立方程組 a x2+ b y2= 1 ,x + y 1 = 0 ,消去 y 得 ( a+ b ) x2 2 b x + b 1 = 0 . 因為由題意知 a+ b ≠ 0 ,所以由根與系數(shù)的關(guān)系 ,得 x1+ x2=2ba + b,x1x2=b 1a + b. 設(shè) AB 的中點為 C ( x0, y0), 則 x0=ba + b, y0=1 x0=1 ba + b=aa + b. 所以 AB 的中點為 C ba + b,aa + b , 專題一 專題二 專題三 專題四 從而得到 kOC=ab= 22.① 由 | AB | = 2 2 ,得 1 + kAB2|x1 x2| = 2 2 , 所以 ( 1+ kAB2)( x1 x2)2 = ( 1+ kAB2) [ ( x1+x2)2 4x1x2] =8. 又由 kA B= 1 ,所以 2 2ba + b 2 4 F=0. 即直線 A39。 ( 2 ) 如圖所示 , 已知過點 M ( x1, y1) 的直線 l1: x1x + 4 y1y = 4 與過點 N ( x2, y2)( 其中 x2≠ x1) 的直線 l2: x2x + 4 y2y = 4 的交點 E 在雙曲線 C 上 , 直線 MN 與兩條漸近線分別交于 G , H 兩點 , 求 △ OGH 的面積 . 專題一 專題二 專題三 專題四 解 : ( 1 ) 設(shè) C 的標(biāo)準(zhǔn)方程 為x2a2?y2b2=1 ( a 0 , b 0 ), 則由題意得 c= 5 , e=ca= 52,因此 a= 2 , b= c2 a2=1 , C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24 y2=1. C 的漸近線方程為 y = 177。 PN = x02+ y02 1=2 , |PM || PN |= ( 1 + x0)2+ y02 F=y1x1 3p+y2x2 3p =y1x2 3p y1+ y2x1 3p y2( x1 3p )( x2 3p ). 又 y12=4px1, y22=4px2, 所以 kA39。 ), 即 4c2=c2+ | P F1|| P F2|. ① 又 S△ P F1F2=12 3 , 所以12| P F1|| P F2| s in 60 176。 ,如圖所示 . 則 tan α =kMA=???? + 1, tan ( π 2 α ) =kMB=???? 2= 2t a n ??1 ta n2α.① 將 tan α =???? + 1代入 ① 式得 ???? 2=2 ??1 + ??1 ??2( 1 + ?? )2( | MA||M B | ), ∴ 有 y= 0 或 x2??23= 1 ( y ≥ 0 ) . 又當(dāng) ∠ MBA = 90176。 ?? ?? = 0 , | ?? ?? | = | ?? ?? |. 設(shè) ∠ xOP = α , | ?? ?? | = | ?? ?? | = r , 則有 ?? ?? = ( r co s α , r s in α ) = ( x0, y0), ?? ?? = ( r co s ( 90176。b 1a + b =8 ,即 a2+b2+ 3 ab a b = 0 .② 由 ①② 聯(lián)立解得 a =13,b = 23. 所以橢圓方程為13x2+ 23y2=1. 專題一 專題二 專題三 專題四 3 . 由弦的性質(zhì)求參數(shù)值 【應(yīng)用 3 】 設(shè)雙曲線 C :x2a2 y2=1 ( a 0 ) 與直線 l : x + y = 1 相交于兩個不同的點 A , B. ( 1 ) 求雙曲線 C 的離心率 e 的取值范圍 。 E , A 39。12x , 即 x 2 y = 0 和 x + 2 y = 0 . 專題一 專題二 專題三 專題四 ( 2 ) 如題圖所示 ,由題意 ,點 E ( xE, yE) 在直線 l1: x1x + 4 y1y = 4 和l2: x2x + 4 y2y = 4 上 ,因此有 x1xE+ 4 y1yE=4 , x2xE+ 4 y2yE=4 ,故點 M , N 均在直線xEx + 4 yEy = 4 上 ,因此直線 MN 的方程為 xEx + 4 yEy = 4 . 設(shè) G , H 分別是直線 MN 與漸近線 x 2 y = 0 及 x + 2 y = 0 的交點 ,由方程組 xEx + 4 yEy = 4 ,