【正文】 6．已知數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式為 an= （ n≥ 1， n∈ N*）． （ Ⅰ ）求 a1， a2， a3的值； （ Ⅱ ）求證：對任意的自然數(shù) n∈ N*，不等式 a1?a2…a n＜ 2?n!成立． 2017 年江蘇省高考數(shù)學(xué)預(yù)測卷（ 2） 參考答案與試題解析 一、填空題（本大題共 14 小題，每小題 5 分，共計(jì) 70 分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）． 1．已知集合 A={﹣ 1， 0， 1， 2}， B={1， 2， 3}，則集合 A∪ B 中所有元素之和是 5 ． 【考點(diǎn)】 1D：并集及其運(yùn)算． 【分析】 利用并集定義先求出 A∪ B，由此能求出集合 A∪ B 中所有元素之和． 【 解答】 解： ∵ 集合 A={﹣ 1， 0， 1， 2}， B={1， 2， 3}， ∴ A∪ B={﹣ 1， 0， 1， 1， 2， 3}， ∴ 集合 A∪ B 中所有元素之和是：﹣ 1+0+1+2+3=5． 故答案為： 5． 2．已知復(fù)數(shù) z 滿足（ 1+2i） z=i，其中 i 為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) z 的虛部為 ． 【考點(diǎn)】 A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算． 【分析】 利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化為 a+bi（ a， b∈ R）的形式，則答案可求 【解答】 解： ∵ （ 1+2i） z=i， ∴ z= = = + ， ∴ 復(fù)數(shù) z 的虛部為 ． 故答案為 3．已知點(diǎn) M（﹣ 3，﹣ 1），若函數(shù) y=tan x（ x∈ （﹣ 2， 2））的圖象與直線 y=1交于點(diǎn) A，則 |MA|= 2 ． 【考點(diǎn)】 HC：正切函數(shù)的圖象． 【分析】 解方程求出函數(shù) y 與直線 y=1 的交點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)，再求線段的長 |MA|． 【解答】 解：令 y=tan x=1，解得 x=1+4k， k∈ Z； 又 x∈ （﹣ 2， 2）， ∴ x=1， ∴ 函數(shù) y 與直線 y=1 的交點(diǎn)為 A（ 1， 1）； 又 M（﹣ 3，﹣ 1）， ∴ |MA|= =2 ． 故答案為： 2 ． 4．某人 5 次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為 12， 8， 10， 11， 9，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為 ． 【考點(diǎn) 】 BC：極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差． 【分析】 利用定義求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差即可． 【解答】 解：數(shù)據(jù) 12， 8， 10， 11， 9 的平均數(shù)為： = （ 12+8+10+11+9） =10， 方差為： s2= [（ 12﹣ 10） 2+（ 8﹣ 10） 2+（ 10﹣ 10） 2+（ 11﹣ 10） 2+（ 9﹣ 10） 2]=2； ∴ 這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為 s= ． 故答案為： ． 5．執(zhí)行如圖所示的算法流程圖，則輸出的結(jié)果 S 的值為 ﹣ 1 ． 【考點(diǎn)】 EF：程序框圖． 【分析】 模擬執(zhí)行程序，依次寫出每次循環(huán)得到的 S， n 的值，當(dāng) S=﹣ 1， n=2020時不滿足條件 n＜ 2020，退出循環(huán)，輸出 S 的值為﹣ 1，即可得解． 【解答】 解：輸入 s=0， n=1＜ 2020， s=0， n=2＜ 2020， s=﹣ 1， n=3＜ 2020， s=﹣ 1， n=4＜ 2020， s=0， n=5＜ 2020， … ， 由 2020=503 4+3 得， 輸出 s=﹣ 1， 故答案為：﹣ 1． 6．在區(qū)間 [﹣ 1， 2]內(nèi)隨機(jī)取一個實(shí)數(shù) a，則關(guān)于 x 的方程 x2﹣ 4ax+5a2+a=0 有解的概率是 ． 【考點(diǎn)】 CF：幾何概型． 【分析】 根據(jù)幾何概型計(jì)算公式，用符合題意的基本事件對應(yīng)的區(qū)間長度除 以所有基本事件對應(yīng)的區(qū)間長度，即可得到所求的概率． 【解答】 解： ∵ 關(guān)于 x 的方程 x2﹣ 4ax+5a2+a=0 有解， ∴ 16a2﹣ 20a2﹣ 4a≥ 0， ∴ ﹣ 1≤ a≤ 0 時方程有實(shí)根， ∵ 在區(qū)間 [﹣ 1， 2]上任取一實(shí)數(shù) a， ∴ 所求的概率為 P= = ． 故答案為： 7．如圖，在平面四邊形 ABCD 中，若 AC=3， BD=2，則 = 5 ． 【考點(diǎn)】 9V：向量在幾何中的應(yīng)用． 【分析】 先利用向量的加法把 轉(zhuǎn)化為 ，再代入原題整理后即可求得結(jié)論． 【解答】 解：因?yàn)?=（ + ） +（ + ） = +（ ） = ． ∴ （ ） ?（ ） =（ ） ?（ ） = ﹣ =32﹣ 22=5． 故答案為 5 8．如圖，在直三棱柱 ABC﹣ A1B1C1中，若四邊形 AA1C1C 是邊長為 4 的正方形，且 AB=3， BC=5， M 是 AA1的中點(diǎn)，則三棱錐 A1﹣ MBC1的體積為 4 ． 【考點(diǎn)】 LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積． 【分析】 推導(dǎo)出 A1C1 ⊥ 平面 A1MB ，從而三棱錐 A1 ﹣ MBC1 的體積= ，由此能求出結(jié)果． 【解答】 解： ∵ 在直三棱柱 ABC﹣ A1B1C1中，若四邊形 AA1C1C 是邊長為 4 的正方形，且 AB=3， BC=5， ∴ A1C1⊥ AA1， AC2+AB2=BC2， ∴ A1C1⊥ A1B1， ∵ AA1∩ A1B1=A1， ∴ A1C1⊥ 平面 A1MB， ∵ M 是 AA1的中點(diǎn)， ∴ = = =3， ∴ 三棱錐 A1﹣ MBC1的體積： = = = =4． 故答案為： 4． 9．已知函數(shù) f（ x） =x|x﹣ 2|，則不等式 f（ 2﹣ ln（ x+1）） ＞ f（ 3）的解集為 {x|﹣ 1＜ x＜ ﹣ 1} ． 【考點(diǎn)】 7E：其他不等式的解法． 【分析】 由題意， f（ x） = ，在（ 2， +∞ ）單調(diào)遞增， x＜ 2， f（ x） max=1＜ f（ 3） =3． f（ 2﹣ ln（ x+1）） ＞ f（ 3）化為 2﹣ ln（ x+1） ＞ 3，即可解不等式． 【解答】 解：由題意， f（ x） = ，在（ 2， +∞ ）單調(diào)遞增， x＜ 2， f（ x） max=1＜ f（ 3） =3． ∵ f（ 2﹣ ln（ x+1）） ＞ f（ 3）， ∴ 2﹣ ln（ x+1） ＞ 3， ∴ ln（ x+1） ＜ ﹣ 1， ∴ 0＜ x+1＜ ， ∴ ﹣ 1＜ x＜ ﹣ 1， ∴ 不等式 f（ 2﹣ ln（ x+1）） ＞ f（ 3）的解集為 {x|﹣ 1＜ x＜ ﹣ 1}， 故答案為 {x|﹣ 1＜ x＜ ﹣ 1}． 10．曲線 f（ x） =xlnx 在點(diǎn) P（ 1， 0）處的切線 l 與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是 ． 【考點(diǎn)】 6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn) 切線方程． 【分析】 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程，計(jì)算切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出三角形面積． 【解答】 解： f′（ x） =lnx+x? =lnx+1， ∴ 在點(diǎn) P（ 1， 0）處的切線斜率為 k=1， ∴ 在點(diǎn) P（ 1， 0）處的切線 l 為 y﹣ 0=x﹣ 1，即 y=x﹣ 1， ∵ y=x﹣ 1 與坐標(biāo)軸交于（ 0，﹣ 1），（ 1， 0）． ∴ 切線 y=x﹣ 1 與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 S= 1 1= ． 故答案為： ． 11．設(shè)向量 =（ 4sin x， 1）， =（ cos x，﹣ 1）（ ω＞ 0），若函數(shù) f（ x） = ? +1在區(qū)間 [﹣ ， ]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) ω的取值范圍為 （ 0， 2] ． 【考點(diǎn)】 9R：平面向