【正文】 ， C1D1的中點(diǎn)， ∴ BM ∥ C1K ，BM ＝ C1K . ∴ 四邊形 BC1KM 為平行四邊形 . ∴ MK ∥ BC1.［ 9 分］ 在正方體 ABCD — A1B1C1D1中， A1B1⊥ 平面 BB1C1C ， BC1? 平面 BB1C1C ， ∴ A1B1⊥ BC1. ∵ MK ∥ BC1， ∴ A1B1⊥ MK . ∵ 四邊形 BB1C1C 為正方形， ∴ BC1⊥ B1C .［ 1 2 分］ ∴ MK ⊥ B1C . ∵ A1B1? 平面 A1B1C ， B1C ? 平面A1B1C ， A1B1∩ B1C ＝ B1， ∴ MK ⊥ 平面 A1B1C . ∵ MK ? 平面 A1MK ， ∴ 平面 A1MK ⊥ 平面 A1B1C . ［ 1 4 分］ 批閱筆記 ( 1 ) 本題考查的是線面平行、面面垂直的證明 . 難度不大，但學(xué)生解答時出現(xiàn)的問題較多 . ( 2 ) 定理應(yīng)用不嚴(yán)謹(jǐn) . 如：要證 AN ∥ 平面 A1MK ，必須強(qiáng)調(diào) AN ? 平面 A1MK . ( 3 ) 解題過程不完整，缺少關(guān)鍵步驟，如第 ( 1 )問中，應(yīng)先證四邊形 A N K A1為平行四邊形 . 第( 2 ) 問中，缺少必要的條件，使思維不嚴(yán)謹(jǐn)，過程不流暢 . 思想方法 感悟提高 方法與技巧 1. 證明線面垂直的方法 (1) 線面垂直的定義： a 與 α 內(nèi)任何直線都垂直 ? a ⊥ α ； (2) 判定定理 1 ： ?????m 、 n ? α ， m ∩ n ＝ Al ⊥ m ， l ⊥ n?l ⊥ α ； (3) 判定定理 2 ： a ∥ b ， a ⊥ α ? b ⊥ α ； (4) 面面平行的性質(zhì)： α ∥ β ， a ⊥ α ? a ⊥ β ； (5) 面面垂直的性質(zhì)： α ⊥ β ， α ∩ β ＝ l ， a ? α ， a ⊥ l? a ⊥ β . 2. 證明線線垂直的方法 ( 1 ) 定義：兩條直線所成的角為 9 0 176。 山東 ) 在如圖所示的幾何體 中，四邊形 AB C D 是正方形 ， MA ⊥ 平面 AB C D ， PD ∥ MA ， E 、 G 、 F 分別為 MB 、 PB 、 PC 的中點(diǎn)，且 AD ＝ PD ＝ 2 MA . (1) 求證：平面 EFG ⊥ 平面 PDC ； (2) 求三棱錐 P － MAB 與四棱錐 P － AB C D 的體積之比 . ( 1) 證明 因為 MA ⊥ 平面 ABCD ， PD ∥ MA ， 所以 PD ⊥ 平面 ABCD . 又 BC ? 平面 ABCD ，所以 PD ⊥ BC . 因為四邊形 ABCD 為正方形，所以 BC ⊥ DC . 又 PD ∩ DC ＝ D ，所以 BC ⊥ 平面 P D C . 在 △ P B C 中，因為 G 、 F 分別為 PB 、 PC 的中點(diǎn)， 所以 GF ∥ BC ，所以 GF ⊥ 平面 P D C . 又 GF ? 平面 EFG ，所以平面 EFG ⊥ 平面 P D C . ( 2) 解 因為 PD ⊥ 平面 ABCD ，四邊形 ABCD為正方形， 不妨設(shè) MA ＝ 1 ，則 PD ＝ AD ＝ 2 ， 所以 VP － ABCD＝13S 正方形A BCD ，即 AB ⊥ BC . ∴ BD ＝12AC ＝ 2 ＝ AD . ∵ PD2＝ PA2－ AD2＝ 3 ， PB ＝ 5 ， ∴ PD2＋ BD2＝ PB2. ∴ PD ⊥ BD . ∵ AC ∩ BD ＝ D ， ∴ PD ⊥ 平面 ABC . (2) 解 取 AB 的中點(diǎn) E ，連接 DE 、 PE ， 由 E 為 AB 的中點(diǎn)知 DE ∥ BC ， ∵ AB ⊥ BC ， ∴ AB ⊥ DE . ∵ PD ⊥ 平面 ABC ， ∴ PD ⊥ AB . 又 AB ⊥ DE ， DE ∩ PD ＝ D ， ∴ AB ⊥ 平面 PDE ， ∴ PE ⊥ AB . ∴∠ PE D 是二面角 P — AB — C 的平面角 . 在 △ PE D 中， DE ＝12BC ＝62， PD ＝ 3 ， ∠ PDE ＝ 90 176。 . ( 1 ) 求異面直線 CE 與 AF 所成角 的余弦值； ( 2