【正文】 . 設(shè)R(A)=R(B), 則A與B的標(biāo)準(zhǔn)形是相同的. 設(shè)A與B的標(biāo)準(zhǔn)形為D, 則有A~D, D~B.由等價(jià)關(guān)系的傳遞性, 有A~B. 11. 設(shè), 問(wèn)k為何值, 可使 (1)R(A)=1。 解 (下一步: r2180。 (A+2E)(A3E)=4 E, 所以 (A+2E)1(A+2E)(A3E)=4(A+2 E)1, . 16. 設(shè)A為3階矩陣, , 求|(2A)15A*|. 解 因?yàn)? 所以 =|2A1|=(2)3|A1|=8|A|1=8180。 解 . |A|=1, 故A1存在. 因?yàn)? , 故 . (2)。 解 . (5)。 證明 (c4c3, c3c2, c2c1得) (c4c3, c3c2得) . (4) =(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(a+b+c+d)。(1)180。(1)+1180。 解 . (2)。 解 =(1180。0且A185。0, 故A+2E也可逆.由 A2A2E=O 222。 解 設(shè), , 則 , . 于是 . (2). 解 設(shè), , , 則 . 第三章　矩陣的初等變換與線性方程組 1. 把下列矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣: (1)。R(B). 這是因?yàn)锽的非零子式必是A的非零子式, 故A的秩不會(huì)小于B的秩. 8. 求作一個(gè)秩是4的方陣, 它的兩個(gè)行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0, 0). 解 用已知向量容易構(gòu)成一個(gè)有4個(gè)非零行的5階下三角矩陣: ,此矩陣的秩為4, 其第2行和第3行是已知向量. 9. 求下列矩陣的秩, 并求一個(gè)最高階非零子式: (1)。 解 對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換, 有 B=~, 于是R(A)=2, 而R(B)=3, 故方程組無(wú)解. (2)。 證明 由定理7, 方程AX=Em有解的充分必要條件是R(A)=R(A, Em),而| Em|是矩陣(A, Em)的最高階非零子式, 故R(A)=R(A, Em)=m. 因此, 方程AX=Em有解的充分必要條件是R(A)=m. (2)方程YA=En有解的充分必要條件是R(A)=n. 證明 注意, 方程YA=En有解的充分必要條件是ATYT=En有解. 由(1) ATYT=En有解的充分必要條件是R(AT)=n. 因此，方程YA=En有解的充分必要條件是R(A)=R(AT)=n. 20. 設(shè)A為m180。l1=2l2,l1b1+l2b2 =0222。m), 使lk185。 取(x3, x4)T=(0, 8)T, 得(x1, x2)T=(1, 11)T. 方程組AB=0的基礎(chǔ)解系為 x1=(1, 5, 8, 0)T, x2=(1, 11, 0, 8)T. 因此所求矩陣為. 24. 求一個(gè)齊次線性方程組, 使它的基礎(chǔ)解系為x1=(0, 1, 2, 3)T , x2=(3, 2, 1, 0)T . 解 顯然原方程組的通解為, 即, (k1, k2206。 (3)向量b能由向量組A線性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式. 解 . (1)當(dāng)a=4, b185。V1. V2不是向量空間, 因?yàn)槿稳? a=(a1, a2, , an)T 206。V1, l206。n2時(shí), A中每個(gè)元素的代數(shù)余子式都為0, 故A*=O, 從而R(A*)=0. 28. 求下列非齊次方程組的一個(gè)解及對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系: (1)。 取x2=1, x1=x3=x4= =xn1=0, 得xn=(n1)=n+1。k163。R(B, A)=2, 所以R(A)=2, 從而R(A)=R(B)=R(A, B). 因此A組與B組等價(jià). 5. 已知R(a1, a2, a3)=2, R(a2, a3, a4)=3, 證明 (1) a1能由a2, a3線性表示。1. 因?yàn)? 1163。2時(shí), R(A)=3. 12. 求解下列齊次線性方程組: (1)。r2, r2180。 若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此時(shí)命題也成立. 因此|A*|=|A|n1. 19. 設(shè), AB=A+2B, 求B. 解 由AB=A+2E可得(A2E)B=A, 故 . 20. 設(shè), 且AB+E=A2+B, 求B. 解 由AB+E=A2+B得 (AE)B=A2E, 即 (AE)B=(AE)(A+E). 因?yàn)? 所以(AE)可逆, 從而 . 21. 設(shè)A=diag(1, 2, 1), A*BA=2BA8E, 求B. 解 由A*BA=2BA8E得 (A*2E)BA=8E, B=8(A*2E)1A1 =8[A(A*2E)]1 =8(AA*2A)1 =8(|A|E2A)1 =8(2E2A)1 =4(E+A)1 =4[diag(2, 1, 2)]1 =2diag(1, 2, 1). 22. 已知矩陣A的伴隨陣, 且ABA1=BA1+3E, 求B. 解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA1=BA1+3E得 AB=B+3A, B=3(AE)1A=3[A(EA1)]1A . 23. 設(shè)P1AP=L, 其中, , 求A11. 解 由P1AP=L, 得A=PLP1, 所以A11= A=PL11P1. |P|=3, , , 而 , 故 . 24. 設(shè)AP=PL, 其中, , 求j(A)=A8(5E6A+A2). 解 j(L)=L8(5E6L+L2) =diag(1,1,58)[diag(5,5,5)diag(6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). j(A)=Pj(L)P1 . 25. 設(shè)矩陣A、B及A+B都可逆, 證明A1+B1也可逆, 并求其逆陣. 證明 因?yàn)? A1(A+B)B1=B1+A1=A1+B1, 而A1(A+B)B1是三個(gè)可逆矩陣的乘積, 所以A1(A+B)B1可逆, 即A1+B1可逆. (A1+B1)1=[A1(A+B)B1]1=B(A+B)1A. 26. 計(jì)算. 解 設(shè), , , , 則 , 而 , , 所以 , 即 . 27. 取, 驗(yàn)證. 解 , 而 , 故 . 28. 設(shè), 求|A8|及A4. 解　令, , 則 , 故 , . . 29. 設(shè)n階矩陣A及s階矩陣B都可逆, 求 (1)。 解 . (3)。A2B2. 6. 舉反列說(shuō)明下列命題是錯(cuò)誤的: (1)若A2=0, 則A=0。 解 aij=|ij|, =(1)n1(n1)2n2. (6), 其中a1a2 an185。 解 逆序數(shù)為4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1。 解 =2180。 解 =acb+bac+cbabbbaaaccc =3abca3b3c3. (3)。 解 將第一行乘(1)分別加到其余各行, 得 , 再將各列都加到第一列上, 得 =[x+(n1)a](xa)n1. (3)。A2+2AB+B2. 因?yàn)? , 但 , 所以(A+B)2185。0, 故A1存在. 因?yàn)? , 所以 . (4)(a1a2 an 185。0, 則有A*(A*)1=E, 由此得 A=A A*(A*)1=|A|E(A*)1=O , 所以A*=O, 這與|A*|185。(4), r3184。1時(shí), R(A)=2。1且l185。R(B, A), 所以A組不能由B組線性表示. 4. 已知向量組 A: a1=(0, 1, 1)T, a2=(1, 1, 0)T。R(a1, a2, , an)163。 解　對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換, 有 , 于是得 . 取(x3, x4)T=(4, 0)T, 得(x1, x2)T=(16, 3)T。0, 故有 |AA*|=||A|E|=|A|185。R滿足x1+x2+ +xn=0},V2={x=(x1, x2, , xn)T | x1, , xn206。V1. 37. 試證: 由a1=(0, 1, 1)T, a2=(1, 0, 1)T, a3=(1, 1, 0)T所生成的向量空間就是R3.證明　 設(shè)A=(a1, a2, a3), 由 ,知R(A)=3, 故a1, a2, a3線性無(wú)關(guān), 所以a1, a2, a3是三維空間R3的一組基, 因此由a1, a2, a3所生成的向量空間就是R3. 38. 由a1=(1, 1, 0, 0)T, a2=(1, 0, 1, 1)T所生成的向量空間記作V1,由b1=(2, 1, 3, 3)T, b2=(0, 1, 1, 1)T所生成的向量空間記作V2, 試證V1=V2. 證明 設(shè)A=(a1, a2), B=(b1, b2). 顯然R(A)=R(B)=2, 又由 , 知R(A, B)=2, 所以R(A)=R(B)=R(A, B), 從而向量組a1, a2與向量組b1, b2等價(jià). 因?yàn)橄蛄拷Ma1, a2與向量組b1, b2等價(jià), 所以這兩個(gè)向量組所生成的向量空間相同, 即V1=V2. 39. 驗(yàn)證a1=(1, 1, 0)T, a2=(2, 1, 3)T, a3=(3, 1, 2)T為R3的一個(gè)基, 并把v1=(5, 0, 7)T, v2=(9, 8, 13)T用這個(gè)基線性表示. 解 設(shè)A=(a1, a2, a3). 由,知R(A)=3, 故a1, a2, a3線性無(wú)關(guān), 所以a1, a2, a3為R3的一個(gè)基. 設(shè)x1a1+x2a2+x3a3=v1, 則,解之得x1=2, x2=3, x3=1, 故線性表示為v1=2a1+3a2a3. 設(shè)x1a1+x2a2+x3a3=v2, 則,解之得x1=3, x2=3, x3=2, 故線性表示為v2=3a13a22a3. 40. 已知R3的兩個(gè)基為 a1=(1, 1, 1)T, a2=(1, 0, 1)T, a3=(1, 0, 1)T, b1=(1, 2, 1)T, b2=(2, 3, 4)T, b3=(3, 4, 3)T.求由基a1, a2, a3到基b1, b2, b3的過(guò)渡矩陣P. 解 設(shè)e1, e2, e3是三維單位坐標(biāo)向量組, 則 , , 于是 ,由基a1, a2, a3到基b1, b2, b3的過(guò)渡矩陣為 . 第五章 相似矩陣及二次型 1. 試用施密特法把下列向量組正交化: (1)。4時(shí), R(