【正文】 , 故 , 故有 . 14. 設(shè)Ak=O (k為正整數(shù)), 證明(EA)1=E+A+A2+ +Ak1. 證明 因?yàn)锳k=O , 所以EAk=E. 又因?yàn)? EAk=(EA)(E+A+A2+ +Ak1), 所以 (EA)(E+A+A2+ +Ak1)=E, 由定理2推論知(EA)可逆, 且 (EA)1=E+A+A2+ +Ak1. 證明 一方面, 有E=(EA)1(EA). 另一方面, 由Ak=O, 有 E=(EA)+(AA2)+A2 Ak1+(Ak1Ak) =(E+A+A2+ +A k1)(EA), 故 (EA)1(EA)=(E+A+A2+ +Ak1)(EA),兩端同時(shí)右乘(EA)1, 就有 (EA)1(EA)=E+A+A2+ +Ak1. 15. 設(shè)方陣A滿足A2A2E=O, 證明A及A+2E都可逆, 并求A1及(A+2E)1. 證明 由A2A2E=O得 A2A=2E, 即A(AE)=2E, 或 , 由定理2推論知A可逆, 且. 由A2A2E=O得 A2A6E=4E, 即(A+2E)(A3E)=4E, 或 由定理2推論知(A+2E)可逆, 且. 證明 由A2A2E=O得A2A=2E, 兩端同時(shí)取行列式得 |A2A|=2, 即 |A||AE|=2, 故 |A|185。A1A(AE)=2A1E222。2=16. 17. 設(shè)矩陣A可逆, 證明其伴隨陣A*也可逆, 且(A*)1=(A1)*. 證明 由, 得A*=|A|A1, 所以當(dāng)A可逆時(shí), 有 |A*|=|A|n|A1|=|A|n1185。0矛盾，故當(dāng)|A|=0時(shí), 有|A*|=0. (2)由于, 則AA*=|A|E, 取行列式得到 |A||A*|=|A|n. 若|A|185。, 所以 . (2). 解 設(shè), 則 . 由此得 222。(1), r3184。2+(3)r1, r3+(2)r1. ) ~(下一步: r3+r2, r1+3r2. ) ~(下一步: r1184。(3) , r4184。 解 ~ ~~ ~故逆矩陣為. (2). 解 ~ ~ ~ ~ ~故逆矩陣為. 4. (1)設(shè), , 求X使AX=B。r2. ) ~(下一步: r23r1, r3r1. ) ~(下一步: r3r2. ) ~, 矩陣的, 是一個(gè)最高階非零子式. (2)。 (2)R(A)=2。 (3)當(dāng)k185。 解 對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換, 有 A=~, 于是 , 故方程組的解為 (k1, k2為任意常數(shù)). (3)。 解 對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換, 有 B=~, 于是 , 即 (k1, k2為任意常數(shù)). (4). 解 對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換, 有 B=~, 于是 , 即 (k1, k2為任意常數(shù)). 14. 寫出一個(gè)以為通解的齊次線性方程組. 解 根據(jù)已知, 可得 , 與此等價(jià)地可以寫成 , 或 , 或 , 這就是一個(gè)滿足題目要求的齊次線性方程組. 15. l取何值時(shí), 非齊次線性方程組. (1)有唯一解。2時(shí)方程組有唯一解. (2)要使方程組無解, 必須R(A)R(B), 故 (1l)(2+l)=0, (1l)(l+1)2185。10時(shí), 方程組有唯一解. 要使方程組無解, 必須R(A)R(B), 即必須 (1l)(10l)=0且(1l)(4l)185。min{R(a), R(bT)}=min{1, 1}=1, 所以R(A)=1. 19. 設(shè)A為m180。1+2180。0+2180。 B: b1=(1, 0, 1)T, b2=(1, 2, 1)T, b3=(3, 2, 1)T, 證明A組與B組等價(jià). 證明 由,知R(B)=R(B, A)=2. 顯然在A中有二階非零子式, 故R(A)179。 (2) (2, 3, 0)T, (1, 4, 0)T, (0, 0, 2)T. 解 (1)以所給向量為列向量的矩陣記為A. 因?yàn)? , 所以R(A)=2小于向量的個(gè)數(shù), 從而所給向量組線性相關(guān). (2)以所給向量為列向量的矩陣記為B. 因?yàn)? , 所以R(B)=3等于向量的個(gè)數(shù), 從而所給向量組線性相無關(guān). 7. 問a取什么值時(shí)下列向量組線性相關(guān)？ a1=(a, 1, 1)T, a2=(1, a, 1)T, a3=(1, 1, a)T. 解 以所給向量為列向量的矩陣記為A. 由 知, 當(dāng)a=0、1時(shí), R(A)3, 此時(shí)向量組線性相關(guān). 8. 設(shè)a1, a2線性無關(guān), a1+b, a2+b線性相關(guān), 求向量b用a1, a2線性表示的表示式. 解 因?yàn)閍1+b, a2+b線性相關(guān), 故存在不全為零的數(shù)l1, l2使 l1(a1+b)+l2(a2+b)=0, 由此得 , 設(shè), 則 b=ca1(1+c)a2, c206。l1=l2=0, 與題設(shè)矛盾. 11. 設(shè)b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1, 證明向量組b1, b2, b3, b4線性相關(guān). 證明 由已知條件得 a1=b1a2, a2=b2a3, a3=b3a4, a4=b4a1,于是 a1 =b1b2+a3 =b1b2+b3a4 =b1b2+b3b4+a1,從而 b1b2+b3b4=0, 這說明向量組b1, b2, b3, b4線性相關(guān). 12. 設(shè)b1=a1, b2=a1+a2, , br =a1+a2+ +ar, 且向量組a1, a2, , ar線性無關(guān), 證明向量組b1, b2, , br線性無關(guān). 證明 已知的r個(gè)等式可以寫成,上式記為B=AK. 因?yàn)閨K|=1185。0, 所以R(A)=n, 從而a1, a2, , an線性無關(guān). 證法二 因?yàn)閑1, e2, , en能由a1, a2, , an線性表示, 所以R(e1, e2, , en)163。n,即R(a1, a2, , an)=n, 所以a1, a2, , an線性無關(guān). 18. 設(shè)向量組a1, a2, , am線性相關(guān), 且a1185。0知l1=0, 矛盾. 因此存在k(2163。r矩陣, 且A組線性無關(guān). 證明B組線性無關(guān)的充分必要條件是矩陣K的秩R(K)=r. 證明　令B=(b1, , br), A=(a1, , as), 則有B=AK. 必要性: 設(shè)向量組B線性無關(guān). 由向量組B線性無關(guān)及矩陣秩的性質(zhì), 有 r=R(B)=R(AK)163。r.因此R(K)=r. 充分性: 因?yàn)镽(K)=r, 所以存在可逆矩陣C, 使為K的標(biāo)準(zhǔn)形. 于是 (b1, , br)C=( a1, , as)KC=(a1, , ar). 因?yàn)镃可逆, 所以R(b1, , br)=R(a1, , ar)=r, 從而b1, , br線性無關(guān). 20. 設(shè),證明向量組a1, a2, , an與向量組b1, b2, , bn等價(jià). 證明 將已知關(guān)系寫成,將上式記為B=AK. 因?yàn)?所以K可逆, 故有A=BK 1. 由B=AK和A=BK 1可知向量組a1, a2, , an與向量組b1, b2, , bn可相互線性表示. 因此向量組a1, a2, , an與向量組b1, b2, , bn等價(jià). 21. 已知3階矩陣A與3維列向量x滿足A3x=3AxA2x, 且向量組x, Ax, A2x線性無關(guān). (1)記P=(x, Ax, A2x), 求3階矩陣B, 使AP=PB。 取(x3, x4)T=(0, 4)T, 得(x1, x2)T=(0, 1)T. 因此方程組的基礎(chǔ)解系為 x1=(16, 3, 4, 0)T, x2=(0, 1, 0, 4)T. (2). 解 對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換, 有 , 于是得 . 取(x3, x4)T=(19, 0)T, 得(x1, x2)T=(2, 14)T。 取xn1=1, x1=x2= =xn2=0, 得xn=2. 因此方程組的基礎(chǔ)解系為 x1=(1, 0, 0, , 0, n)T, x2=(0, 1, 0, , 0, n+1)T, , xn1=(0, 0, 0, , 1, 2)T. 23. 設(shè), 求一個(gè)4180。 (2) I與II的公共解. 解 (1)由方程I得. 取(x3, x4)T=(1, 0)T, 得(x1, x2)T=(0, 0)T。n. 又R(AE)=R(EA), 可知R(A)+R(AE)=R(A)+R(EA)179。0, |A*|185。R). 30. 設(shè)有向量組A: a1=(a, 2, 10)T, a2=(2, 1, 5)T, a3=(1, 1, 4)T, 及b=(1, b, 1)T, 問a, b為何值時(shí) (1)向量b不能由向量組A線性表示。R(A, b), 此時(shí)向量b不能由向量組A線性表示. (2)當(dāng)a185。0, i=1, 2, 3) l3: a3x+b3y+c3=0,相交于一點(diǎn)的充分必要條件為: 向量組a, b線性無關(guān), 且向量組a, b, c線性相關(guān). 證明 三直線相交于一點(diǎn)的充分必要條件為方程組, 即有唯一解. 上述方程組可寫為xa+yb=c. 因此三直線相交于一點(diǎn)的充分必要條件為c能由a, b唯一線性表示, 而c能由a, b唯一線性表示的充分必要條件為向量組a, b線性無關(guān), 且向量組a, b, c線性相關(guān). 32. 設(shè)矩陣A=(a1, a2, a3, a4), 其中a2, a3, a4線性無關(guān), a1=2a2 a3. 向量b=a1+a2+a3+a4, 求方程Ax=b的通解. 解 由b=a1+a2+a3+a4知h=(1, 1, 1, 1)T是方程Ax=b的一個(gè)解. 由a1=2a2 a3得a12a2+a3=0, 知x=(1, 2, 1, 0)T是Ax=0的一個(gè)解. 由a2, a3, a4線性無關(guān)知R(A)=3, 故方程Ax=b所對(duì)應(yīng)的齊次方程Ax=0的基礎(chǔ)解系中含一個(gè)解向量. 因此x=(1, 2, 1, 0)T是方程Ax=0的基礎(chǔ)解系. 方程Ax=b的通解為x=c(1, 2, 1, 0)T+(1, 1, 1, 1)T, c206。R滿足x1+x2+ +xn=1},問V1, V2是不是向量空間？為什么？ 解 V1是向量空間, 因?yàn)槿稳? a=(a1, a2, , an)T 206。R,有 a1+a2+ +an=0, b1+b2+ +bn=0, 從而 (a1+b1)+(a2+b2)+ +(an+bn) =(a1+a2+ +an)+(b1+b2+ +bn)=0, la1+la2+ +lan=l(a1+a2+ +an)=0,所以 a+b=(a1+b1, a2+b2, , an+bn)T206。V1,有 a1+a2+ +an=1, b1+b2+ +bn=1, 從而 (a1+b1)+(a2+b2)+ +(an+bn) =(a1+a2+ +an)+(b1+b2+ +bn)=2, 所以 a+b=(a1+b1, a2+b2, , an+bn)T