neeaaa113三個(gè)正數(shù)的算術(shù)--幾何平均不等式-課件(人教a選修4-5)(留存版)
【正文】 三個(gè)正數(shù)的算術(shù) —幾何平均不等式定理，是根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)和比較法證出的，因此，凡是可以利用該定理證明的不等式，一般都可以直接應(yīng)用比較法證明，只是在具備條件時(shí)，直接應(yīng)用該定理會(huì)更簡(jiǎn)便．若不直接具備 “一正二定三相等 ”的條件，要注意經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏笤偈褂枚ɡ碜C明． 連續(xù)多次使用平均不等式定理時(shí)要注意前后等號(hào)成立的條件是否保持一致． [通一類(lèi) ] 證明： ∵ 0 a 1 ， ∴ 1 － a 0. ∴ 0 a (1 － a ) ≤ [a ＋ ? 1 － a ?2]2＝14. 同理 0 b (1 － b ) ≤14， 0 c (1 － c ) ≤14 將以上三個(gè)不等式相乘得 abc (1 － a )(1 － b )(1 － c ) ≤ (14)3. 2．設(shè) 0a1,0b1,0c1， 求證： abc (1 － a )(1 － b )(1 － c ) ≤ ( 14 ) 3 . [研一題 ] [例 3] 已知圓錐的底面半徑為 R，高為 H，求圓錐的內(nèi)接圓柱體的高 h為何值時(shí)，圓柱的體積最大？并求出這個(gè)最大的體積． [精講詳析 ] 本題考查算術(shù) —幾何平均不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，解答本題需要作出圓錐、圓柱的軸截面，利用相似三角形建立各元素之間的關(guān)系，然后利用算術(shù) —幾何平均不等式求最大值． 設(shè)圓柱體的底面半徑為 r ，如圖，由相似 三角形的性質(zhì)可得H － hH＝rR， ∴ r ＝RH( H － h ) ． ∴ V 圓柱 ＝ π r2h ＝π R2H2 ( H － h )2h (0 ＜ h ＜ H ) ． 根據(jù)平均不等式可得 V 圓柱 ＝4π R2H2 (1－ x)的最大值． 解 ： y ＝ x2(1 － x ) ＝ x H － h212. ∵ 2 x2＋ (1 － x2) ＋ (1 － x2) ＝ 2 ， [研一題 ] ∴ y2≤12(2 x2＋ 1 － x2＋ 1 － x23)3＝427. 當(dāng)且僅當(dāng) 2 x2＝ 1
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