【正文】 位元以外無(wú)其它等冪元。3設(shè)a是一個(gè)群〈G，*〉的生成元，則a1也是它的生成元。假設(shè)e=0。從而b試證：I,*為群。a)（ba。是偶數(shù)階群，則由于群的元素中階為1 的只有一個(gè)單位元，階大于2 的元素是偶數(shù)個(gè)，剩下的元素中都是階為2 的元素。c) a}。解：設(shè)G是8階循環(huán)群，a是它的生成元。 (c) {b,e}。它是反自反的、反對(duì)稱(chēng)的、傳遞的；（2）R={1,2,2,1,1,3,3,1,2,3,3,2}。1設(shè)A,B,C和D均是集合，RAB，SBC，TCD，則(1)　　R(ST)=(RS)(RT)；(2)　　R(ST)(RS)(RT)；證明：（1）x，zR(ST)，則由合成關(guān)系的定義知yB，使得x，yR且y，zST。1設(shè)RAA，則R自反 IAR?！苁茿上的良序關(guān)系，{a,b}有最小元。 (6) (AB) C={b,d}。求下列集合：(1) A{0,1}B； (2) B2A；(3) (AB)2。同理可證，AB。答：（1）x（G(x,0)M（0,0,x）） 或x L(x,0)（2）xyz ((L(x,y)L(y,z))L(x,z))（3）xy ((L(x,y)z(L(z,0)G(xz,yz)))（4）xyM（x,y,y）（5）xyA(x,y,x)列出下列二元關(guān)系的所有元素：（1）A={0,1,2}，B={0,2,4}，R={x,y|x,y}。 (4) xy（xy=0）。即P(A)P(B)P(AB) 1P(A)P(B)=P(AB) （P(S)表示S的冪集）證明：SP(A)P(B)，有SP(A)且SP(B)，所以SA且SB。從而A=AB=B=。(2) 若C隊(duì)獲亞軍，則A隊(duì)不能獲冠軍。 (1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 12答：(4)7設(shè)圖G=V，E，V={a，b，c，d，e}，E={a,b,a,c,b,c,c,d,d,e},則G是有向圖還是無(wú)向圖？答：有向圖7任一有向圖中，度數(shù)為奇數(shù)的結(jié)點(diǎn)有(　　　)個(gè)。答：所有結(jié)點(diǎn)一次且恰好一次5在有向圖中，結(jié)點(diǎn)v的出度deg+(v)表示( )，入度deg(v)表示( )。(1) 自反的　　(2) 對(duì)稱(chēng)的　　 (3) 傳遞的，對(duì)稱(chēng)的 (4) 傳遞的答：（2）（代數(shù)結(jié)構(gòu)部分）3設(shè)A={2,4,6}，A上的二元運(yùn)算*定義為：a*b=max{a,b}，則在獨(dú)異點(diǎn)A,*中，單位元是( )，零元是( )。 $yR(y)1令R(x):x是實(shí)數(shù)，Q(x):x是有理數(shù)。D(x)中，自由變?cè)? )，約束變?cè)? )。(1) x$y(x+y=0) (2) $yx(x+y=0)答：（1）對(duì)任一整數(shù)x存在整數(shù) y滿(mǎn)足x+y=0（2）存在整數(shù)y對(duì)任一整數(shù)x滿(mǎn)足x+y=0設(shè)全體域D是正整數(shù)集合，確定下列命題的真值：(1) x$y (xy=y)　　(　　)　　(2) $xy(x+y=y)　　(　　)(3) $xy(x+y=x) 　(　　)　　(4) x$y(y=2x)　　 (　　)答：（1） F （2） F （3）F （4）T設(shè)謂詞P(x)：x是奇數(shù)，Q(x)：x是偶數(shù)，謂詞公式 $x(P(x)218。答：（2） 2Ａ，Ｂ，Ｃ是三個(gè)集合，則下列哪幾個(gè)推理正確：(1) AB，BC= AC (2) AB，BC= A∈B (3) A∈B，B∈C= A∈C答：（1） （二元關(guān)系部分）2設(shè)Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，從Ａ到B的關(guān)系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，求(1)R (2) R1 。答：H,是群 或 a，b G， abH，a1H 或 a,b G，ab1H 4群＜A,*＞的等冪元有(　　　)個(gè)，是(　　　)，零元有(　　　)個(gè)。答：它是連通圖6設(shè)G是一棵樹(shù)，n,m分別表示頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)，則(1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能確定。所以P→QP→(PQ)。 本題即證明 A（BC），CA，DB，AD。 即BA，從而B(niǎo)=（否則ABA，從而與(AB)(BA)=A矛盾）。假設(shè)B，則存在bB。（7）對(duì)任意自然數(shù)x,y，存在自然數(shù)z滿(mǎn)足xy=z。從而B(niǎo)=A。對(duì),因?yàn)锳，所以存在yA, 使y,xB。 （5）(AB)(BC)。(3) 不成立。故bRSa。反之y,xR1,即x,yR 。從而R(ST)(RS）（RT）。（3）是A的劃分。上確界是e，下確界是b。因?yàn)閍n=na2(n1)，故1n=n2(n1)=2n。a=c滿(mǎn)足消去律，所以a 則|0|=1；|1|=|5|=6，|2|=|4|=3，|3|=2。(ba)=(ab= b2設(shè)S,單位元有惟一逆元。 a=e。從而階為1的元素與階大于2 的元素個(gè)數(shù)之和是奇數(shù)。中消去律成立，則S,b)((b從而a故a*(a*b*a)=(a*b*a)*a，從而a*b*a=a。滿(mǎn)足交換律 ，即G是可交換群。對(duì)aG，若aH，則aH=H,Ha=H。因?yàn)镠和K都 是G的不變子群，所以aa ，bx=xa1)=hC(G)。綜上所述，G是平凡群或質(zhì)數(shù)階的循環(huán)群。證明：設(shè)G,*是p階循環(huán)群，p是素?cái)?shù)。即p|qm。5設(shè)G＝(a)，{e}HG，am是H中a 的最小正冪，則（1） H＝(am)；（2） 若G為無(wú)限群，則H也是無(wú)限群；證明：（1）bH, kI, 使得b=ak。設(shè)H1是G的任一d階子群。(H)G2。證明：在4階群 G中，由Lagrange定理知，G中的元素的階只能是1，2或4。若AG且BG，則有aA,aB且bB,bA。根據(jù)*和單位元的定義，對(duì)(x,y)S,有(a,b)*(x,y)=(ax,ay+b)=(x,y), (x,y)*(a,b)=(ax,xb+y)=(x,y)。故a=h1*a*k1,從而bRa。a,b,c∈G，若aRb,bRc,則存在 h,g∈H，k,l∈K, 使得b=h*a*k，c=g*b*l。解得a=1,b=0。因?yàn)閍A,所以aA。若G沒(méi)有4階元素，則除單位元e外，G的其余3個(gè)階均為2。故(h(a))n=h(an)=h(e1)=e2。因?yàn)閨H|=d，所以m==k，即H=H1。則ar=akmq=akamq=b(am)q。由于p和m都是正整數(shù)，所以p=m。設(shè)a的階為k,則k1。試證：HK={e}。4設(shè)G,從而ab。a1H且a從而aH=Ha=GH。又對(duì)aG，有f(a1)=(a1)1=a。由（2）可知a*(b*c)*a=a且c*(a*b)*c=c，故（a*b*c）*（a*c）=(a*(b*c)*a)*c=a*c且(a*c)*(a*b*c)= a*(c*(a*b)*c))= a*c，即（a*b*c）*（a*c）=(a*c)*(a*b*c)。a。b)=aa)b）2=a23代數(shù)系統(tǒng)G,*是一個(gè)群，則G除單位元以外無(wú)其它等冪元。故在元素不少于兩個(gè)的群中不存在零元。若e1,e2都是e的逆元，即e1*e=e且e2*e=e。令Sa={ai | iI+ }。a5= ba))b)是群，a,bG，ae，且a4a。a)=c又因?yàn)?和3 關(guān)于*互為逆元，故3 也是I,*的生成元。最大元是e，無(wú)最小元；上界是e，下界是c。1R是A={1,2,3,4,5,6}上的等價(jià)關(guān)系，R=I{1,5,5,1,2,4,4,2,3,6,6,3}求R誘導(dǎo)的劃分。證明： 設(shè)a,b都是B的最大元，則由最大元的定義ab，ba。即y,xR， R_1R。a,b,c∈A，aRSb且bRSc，即aRb，aSb,bRc且bSc。雖然AB，且BC，但AC。 解 ：(1) AB={a}。從而xC。從而AA。將下列命題符號(hào)化：（1）沒(méi)有小于0的自然數(shù)。而顯然b（AB）B。從而(AB)(BA)=A。證明、 (1) PR 前提 (2) P (1) (3) PQ 前提 (4) Q (2),(3) (5) (QR) 前提 (6) QR (5) (7) Q (6) (8) (4),(7)(集合論部分)四、設(shè)Ａ，Ｂ，Ｃ是三個(gè)集合，證明：A (B－C)＝(AB)－(AC) 證明：(AB)－(AC)= (AB) =(AB) （）=(AB)(AB)= AB=A（B）=A（BC）(A－B)(A－C)=A－(BC)證明：(AB)(AC)=(A)(A) =A ()=A= A(BC)AB=AC，B=C，則C=B　　證明：B=B(A)=(B) (BA)=(C) (CA)=C(A)=C AB=A(BA)證明： A(BA)=A(B)=(AB)(A)=(AB)U= ABA=B 243。(P→Q)(QR) P證明、設(shè)(P→Q)(QR)為T(mén)，則P→Q和(QR)都為T(mén)。答：26任何連通無(wú)向圖G至少有( )棵生成樹(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)G 是( )，G的生成樹(shù)只有一棵。答：k4在自然數(shù)集N上，下列哪種運(yùn)算是可結(jié)合的？（ ） (1) a*b=ab　　(2) a*b=max{a,b}　(3) a*b=a+2b　(4) a*b=|ab|答：(2)50、任意一個(gè)具有2個(gè)或以上元的半群，它（ ）。(　　　　)答：A上的恒等關(guān)系集合A上的等價(jià)關(guān)系的三個(gè)性質(zhì)是什么？( )答：自反性、對(duì)稱(chēng)性和傳遞性3集合A上的偏序關(guān)系的三個(gè)性質(zhì)是什么？( )答：自反性、反對(duì)稱(chēng)性和傳遞性3設(shè)S={１,２,３,４}，Ａ上的關(guān)系Ｒ＝｛〈1,2〉，〈2,1〉，〈2,3〉，〈3,4〉｝求(1)RR (2) R1 。答：2不是偶數(shù)且3不是負(fù)數(shù)。B(y，x))217。 $yR(y))Q(x)中量詞x的轄域是（ ）。答：（1）R={1,1,4,2,6,3} (2) R={1,1,2,4,(36}3設(shè)Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，從Ａ到B的關(guān)系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，求R和R1的關(guān)系矩陣。(1) 偶數(shù)　(2) 奇數(shù) (3) 4的倍數(shù) 　(4) 2的正整數(shù)次冪答：(4)（圖論部分）5設(shè)G是一個(gè)哈密爾頓圖，則G一定是( )。答：無(wú)簡(jiǎn)單回路7設(shè)無(wú)向圖G有16條邊且每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)都是2，則圖G有( )個(gè)頂點(diǎn)。從而P也為F，即P為T(mén)。故AB=，BA=，從而AB，BA，故A=B。從而(AB)CA(BC) 1P(A)P(B)P(AB) （P(S)表示S的冪集）證明：SP(A)P(B)，有SP(A)或SP(B)，所以SA或SB。 (2) xy(xy=1)。（4）存在x，對(duì)任意y 使得xy=y。從而xA。故B=C。 (4) P(A)P(B)={nhcuj7d3,{a,d}}。A上的任一良序關(guān)系一定是A上的全序關(guān)系。從而RS是傳遞的。 R=R1，y,xR。1設(shè)A={1,2,3},寫(xiě)出下列圖示關(guān)系的關(guān)系矩陣，并討論它們的性質(zhì)： 1 1 12 3 2 3 2 3解：（1）R={2,1,3,1,2,3}。（1） 下列哪些關(guān)系式成立：ab,ba,ce,ef,df,cf；（2） 分別求出下列集合關(guān)于的極大（?。┰?、最大（?。┰⑸希ㄏ拢┙缂吧希ㄏ拢┐_界（若存在的話）：(a) A。解： 因?yàn)閨C12|=12，|H|=3，所以H 的不同右陪集有4 個(gè)：H，{a,a5,a9},{a2,a6,a10},{a3,a7,a11}。令H={xG|aa) 2證明：偶數(shù)階群中階為2 的元素的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)。試證ab))a)這與已知矛盾。的子半群。3設(shè)e和0是關(guān)于A上二元運(yùn)算*的單位元和零元，如果|A|1，則e0。 則e1=e1*e2=e2。 因?yàn)閍*e=a，所以a*a=a*e。b）2=(ab2。b))。3設(shè)群G,＊除單位元外每個(gè)元素的階均為2，則G,＊是交換群。是群，作f:GG,aa1。對(duì)a，bG，因?yàn)镚是可交換群，故f(a證明：HK也是G 的不變子群。從而ax= a再證C（G）是G的不變子群。證明：若G是平凡群，則結(jié)論顯然成立。則HK是一個(gè)元素個(gè)數(shù)大于1的有限集。即a的階就是p，即群G的階。證明：aG，由封閉性及|G|=n可知a,a2,…,an,an+1中必有相同的元素，不妨設(shè)為ak=am,km。從而b=(am)q。若d=1 ,則結(jié)論顯然成立。因?yàn)閔是單一同態(tài)，所以am=e1。從而aba, abb, abe,故ab=c。同理可證a*bB。根據(jù)逆元的定義，有(a,b)*(c,d)= (ac,ad+b)=(1,0)(c,d)*(a,b)= (ac,cb+d)=(1,0)即ac=1,ad+b=0,cb+d=0。從而aRc。即R是自反的。因?yàn)镚 是交換群，故G的所有元素之積可變成單位元和n對(duì)互為逆元的元素