【正文】 第四章 現(xiàn)代譜估計 24 24 AR模型的正則方程與參數(shù)計算 25 正則方程的求導 25 AR模型參數(shù)求解的典型算法 26 AR模型譜估計的實現(xiàn)及性質(zhì) 27 譜估計的步驟 27 AR模型譜估計的性質(zhì) 28 AR 模型階次p的選擇 28 AR模型譜估計仿真 29 MA模型譜估計 30 ARMA模型譜估計 31 小結 32 第五章 論文總結 32參考文獻 34致 謝 35 摘 要 數(shù)字信號處理(DSP)重要的應用領域之一，是建立在周期信號和隨機信號基礎上的功率譜估計。周期圖較差的方差性能促使人們研究另外的分析方法。如果隨機信號是平穩(wěn)的，那么其相關函數(shù)的傅里葉變換就是它的功率譜密度函數(shù)，簡稱功率譜。 在經(jīng)典譜估計中，無論是周期圖法還是其改進方法，都存在著頻率分辨率低、方差性能不好的問題，原因是譜估計時需要對數(shù)據(jù)加窗截斷，用有限個數(shù)據(jù)或其自相關函數(shù)來估計無限個數(shù)據(jù)的功率譜，這其實是假設了窗以外的數(shù)據(jù)或自相關函數(shù)全為零，這種假設是不符合實際的，正是由于這些不符合實際的假設造成了經(jīng)典譜估計分辨率較差。第二章 譜估計中的變量 隨機變量 隨機變量（random variable）表示隨機現(xiàn)象（在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結果的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象）各種結果的變量（一切可能的樣本點）。3. 隨機向量 在某些實際問題中，往往需要同時用兩個或兩個以上的隨機變量來描述試驗的結果。即若一個隨機過程的數(shù)學期望及方差與時間無關，而其相關函數(shù)僅與有關，即我們就稱這個隨機過程是廣義平穩(wěn)的。 定義:設來自總體X的一個樣本，是總體參數(shù) 的一個估計量，若 ,則稱是 的無偏估計量(Unbiased Estimator)。 若和均為廣義平穩(wěn)序列，且即：，則稱和為廣義聯(lián)合平穩(wěn)序列。換句話說，白噪聲的所有頻率分量均具有相同的功率。 由式（34）可知周期圖的均值是真實PSD和Bartlett窗傅里葉變換的卷積，在平均意義上得到真實功率譜密度（PSD）的平滑形式。 數(shù)據(jù)加窗后，周期圖譜估計值的方差大于或近似等于譜估計值的平方，且不隨數(shù)據(jù)長度的增大而減小到0。自相關法的理論基礎是維納辛欽定理，即先由估計出自相關函數(shù)，然后對求傅里葉變換得到的功率譜，因為由這種方法求出的功率譜是通過自相關函數(shù)間接得到的，所以稱為間接法。nfft=1024。xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n))。figure(2)plot(f,plot_Pxx1)。)。矩形窗的頻譜主瓣不是無限窄的，且有旁瓣存在，這將導致能量向旁瓣中“泄漏”，主瓣變得模糊不清。不難想象，AR模型易于反映譜中的峰值，而MA模型易于反映譜中的谷值。用Burg算法進行功率譜估計時令前后向預測誤差功率之和最小，即對、前后都不加窗，使用Levinson—Durbin遞推可快速的求解AR系數(shù)。2. AIC準則（信息論準則） 前者表征將隨著m的增加而單調(diào)下降，后者表示計算誤差將隨著m的增加而增長。自相關法功率譜估計39。在AR模型BT算法中由于前后都加窗，使得自相關法的分辨率降低，數(shù)據(jù)越短分辨率越差。AR模型的Burg法也存在問題，比如計算量大；信號起始相位變動可導致譜線偏移和分裂 ；低信噪比可導致譜分辨率下降等等。通過論文的編寫，也使我發(fā)現(xiàn)自己在經(jīng)驗和知識方面的不足，需要今后進一步改正。 因此，在實際應用中，對自相關陣采用更一般的形式，即取L個方程，這里 ，即，式中，由此得到 的最小二乘解為 求得ARMA(p,q)模型中的AR參數(shù)，余下的任務就是求解MA部分的參數(shù)。改進協(xié)方差算法功率譜估計39。[px1,f1]=pyulear(xn,30,nfft,Fs)。因為，整個積分值為1，所以又可得到譜匹配的局部性質(zhì)，也就是說是的包絡的一個好的近似。模型參數(shù)算法就是基于上述最小均方誤差時由模型參數(shù)估計信號功率的方法，主要有以下幾種經(jīng)典算法： （48） （49） （410） （411） （412） （413）(1) 自相關法(BT法)。輸出序列可以是平穩(wěn)的隨機序列，也可以是確定性的時間序列。歸結起來，自相關法和周期圖法的主要優(yōu)點是；（1） 計算量?。海?） 功率譜估計值正比于正弦波信號的功率。xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n))。plot_Pxx1=10*log10(Pxx1)。 圖32 周期圖法仿真圖 圖33平均周期圖法仿真圖以下是利用matlab對加窗周期圖法進行仿真，并得到仿真圖。程序如下：clear。 自相關法是先估計自相關函數(shù)，再進行傅里葉變換得到功率譜。數(shù)據(jù)加窗后的周期圖譜估計值的數(shù)學期望值等于譜的真實值與窗譜函數(shù)的平方的卷積。 功率譜密度的另一個定義: 可以證明，功率譜密度（PSD）的一個近似等效的定義是 （32）上式定義的PSD與維納一辛欽定理 （33）是等效的。為輸出過程的平均功率。由相合性定義可以看出，若是的相合估計，當樣本容量很大時，一次抽樣得到的值便可作為的較好近似值。2. 功率譜密度的性質(zhì)（1）若 ，則 SX() 是 RX()的傅里葉變換；(2) SX()是的非負實函數(shù)；(3) 實平穩(wěn)過程的譜密度是偶函數(shù)；當 SX()是的有理函數(shù)時，其形式必為，其中 ,為常數(shù)，且0, mn，分母無實根。 平穩(wěn)信號分嚴平穩(wěn)和寬平穩(wěn)，嚴平穩(wěn)的條件在信號處理中太嚴格，不實用，一般所說的平穩(wěn)是指寬平穩(wěn)，滿足三個條件：1. 均值為與時間無關的常數(shù)；2. 均方有界；3. 自相關函數(shù)與信號時間的起始點無關，只和時間差有關（寬平穩(wěn)信號的方差和均方也是與時間無關的）。歸一性：對任意實數(shù)x，0F(x)1，且 . 左連續(xù)性：對任意實數(shù)x， 2. 數(shù)學期望、方差、標準差 定義： ,為X的數(shù)學期望值，或簡稱為均值。但是這要求功率譜估計有足夠好的頻率的分辨率，否則就不一定能夠清楚地檢測出來。其又有以下幾種方法：1. Bartlett法 Bartlett平均周期圖的方法是將N點的有限長序列x(n)分段求周期圖再平均。從信號的特征來分，在這之前所說的方法都是對平穩(wěn)隨機信號而言，其譜分量不隨時間變化，對非平穩(wěn)隨機信號，其譜是時變的，近20年來，以wigner分析為代表的時域分析引起了人們的廣泛興趣，形成了現(xiàn)代譜估計的一個新的研究領域[1]。 “譜”最早是由英國科學家牛頓提出來的，后來法國工程師傅里葉提出了著名的傅里葉諧波分析理論，該理論至今仍然是我們進行信號分析和處理的理論基礎。同時論文將通過對經(jīng)典譜估計和現(xiàn)代譜估計的實現(xiàn)方法及仿真圖的比較，得出經(jīng)典功率譜估計方法的方差性較差，分辨率較低，而現(xiàn)代譜估計的目標正是在于努力改善譜估計的分辨率，因此能得到較好的譜估計效果，為此應用更為廣泛。所有這些都為現(xiàn)代譜估計的發(fā)展打下了良好的基礎[1]。2. 由于對有限序列采用DFT，就默認此有限序列時域是周期的，以及該有限序列在頻域是周期的。 功率譜估計有著極其廣泛的應用，不僅在認識一個隨機信號時，需要估計它的功率譜。隨機變量與模糊變量的不確定性的本質(zhì)差別在于，后者的測定結果仍具有不確定性，即模糊性。瞬時值x(t)小于或等于某值x的概率定義為概率分布函數(shù)或累計概率分布函數(shù) 表征了一個隨機過程自身在不同時刻的狀態(tài)間，或者兩個隨機過程在某個時刻狀態(tài)間線性依從關系的數(shù)字特征。 平穩(wěn)隨機信號的自相關函數(shù) 實隨機信號X(t)的自相關函數(shù)定義： ，由于平穩(wěn)隨機信號的統(tǒng)計特性與時間的起點無關，設t2=t1+τ, 則有f2(x1, x2。 定義: 設與都是總體參數(shù)的無偏估計，若 ,則稱比 更有效。當為實序列時，為非負實對稱函數(shù)，即和。 設為實隨機序列的一批樣本，共有N個值。由此可得出一個重要的看法：周期圖估計器是不可靠的，因為標準差和均值一樣大，因而周期圖不是一致估計而其均值近似地等于要估計的量值。假定在區(qū)間上有組獨立記錄數(shù)據(jù)，并且都是同一隨機過程的現(xiàn)實。%采樣頻率n=0:1/Fs:1。index=0:round(nfft/21)。 %blackman窗noverlap=20。N太小時，譜的分辨率又不好。plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1))。分辨率低的原因，對周期圖法是假定了數(shù)據(jù)窗以外的數(shù)據(jù)全為零，對自相關法是假定了在延遲窗以外的自相關函數(shù)全為零。 假定u(n)、x(n)都是平穩(wěn)的隨機信號，u(n)為白噪聲，方差為，現(xiàn)在，我們希望建立AR模型的參數(shù)和x(n)的自相關函數(shù)的關系，也即AR模型的正則方程。Marple于1980年提出實現(xiàn)協(xié)方差方程求解的快速算法，大大提高了譜估計的性能[1]。xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n))。title(39。 ARMA模型譜估計 ARMA(p,q)模型的差分方程式中。綜合這兩種方法，所以提出了周期圖法的改進方法。同時本論文也對MA模型法和ARMA模型法做了簡要的介紹。從第q+1個方程開始是線性的，可以解出AR部分的系數(shù)，將上式中的第二個方程寫成如下展開形式： 上式雖然可解出AR部分的系數(shù)，但存在以下兩個問題：①由于式中的真實自相關函數(shù)是未知的，因此只能使用估計值來代替，且要用到大延遲的估計值（最大延遲是p+q），而對于給定的信號長度，這將造成估計很不準確。)。Subplot(411)。 AR模型譜估計的性質(zhì)1. AR譜的平滑特性 AR模型是一有理分式，估計出的譜平滑，不需要像周期圖那樣再做平滑或平均，因此，不需要為此去犧牲分辨率。上式寫成矩陣形式，即 （47）上述兩式即是AR模型的正則方程，又稱YuleWalker方程。 在第一章已經(jīng)簡潔的介紹了現(xiàn)代譜估計的基本方法，這些方法技術的目標在于努力改善譜估計的分辨率。 圖37 自相關法仿真圖