【正文】 [4]當(dāng)?shù)娜≈岛艽髸r(shí)，我們可利用泊松分布作為二項(xiàng)分布的一種特殊近似，當(dāng)取值較大，而取值偏小的情況下使用泊松定理，可大大減小二項(xiàng)分布的計(jì)算量.[8]（定理) 在重伯努利試驗(yàn)中，記事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為它與試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)有關(guān)，若當(dāng)時(shí)，有即則對(duì)任意給定的（為非負(fù)整數(shù)），有 證明 設(shè)則有所以 由已知有，則對(duì)于給定的值，有且 ； 所以有 即證！因定理的條件之一為所以在二項(xiàng)分布的計(jì)算中，若值很大，的值卻很小，且的大小適中時(shí)（一般認(rèn)為當(dāng)且時(shí)），二項(xiàng)分布可以使用參數(shù)為的泊松分布來(lái)做近似，即有 此即為二項(xiàng)分布的泊松近似，而且的值應(yīng)盡可能的大，這樣計(jì)算結(jié)果才能更精確.二項(xiàng)分布的泊松近似經(jīng)常被用于稀有事件（即每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率很?。┑难芯恐?，大量實(shí)例表明，一般情況下概率時(shí)，泊松近似非常好用，甚至的取值不必很大. 二項(xiàng)分布的正態(tài)近似 [7]（棣莫佛拉普拉斯（ ）極限定理） 設(shè)隨機(jī)變量（），則對(duì)任意的實(shí)數(shù)，有 證明 因隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以可看做是個(gè)相互獨(dú)立的且服從于同一參數(shù)的兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量的和，即而且 根據(jù)中心極限定理，有 定理得證！ 中心極限定理說(shuō)明，相當(dāng)大時(shí)， 中心極限定理，因 近似服從于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，或者說(shuō)是近似服從于分布，也就是說(shuō) 對(duì)于有 我們只需查一下標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，當(dāng)較大或者較小時(shí)近似效果可能差一些，利用公式時(shí)的值最好滿足另外，因二項(xiàng)分布是離散分布，正態(tài)分布是連續(xù)分布，所以在我們實(shí)際的應(yīng)用中，為減小誤差，常常使用 來(lái)替換式. 正態(tài)分布與泊松分布之間的關(guān)系[9]，二項(xiàng)分布可以用泊松分布來(lái)做近似，從某個(gè)方面來(lái)說(shuō)，泊松分布與正態(tài)分布也具有某種近似的關(guān)系，首先我們來(lái)看特征函數(shù)的連續(xù)性定理. [11] 分布函數(shù)列弱收斂于分布函數(shù)的充分必要條件是它的相應(yīng)的特征函數(shù)列收斂于的特征函數(shù)[11] 設(shè)隨機(jī)變量則有證明 知服從泊松分布，則的特征函數(shù)為所以的特征函數(shù)是對(duì)于任何一個(gè)我們有所以有 因此對(duì)于任意的點(diǎn)列有又知是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征函數(shù)，因此由連續(xù)性定理可以得到， 由的任意性，所以有成立. 我們來(lái)看泊松分布的正態(tài)逼近. [8] 對(duì)于任意的有 其中其證明見文獻(xiàn)[8]. 由前可知，的正態(tài)近似與泊松近似的條件是不同的，當(dāng)?shù)娜≈堤貏e小時(shí)，哪怕的值不是太大，若值很小，但的值也不是太大，則的值肯定不會(huì)很大，我們可知，此時(shí)正態(tài)分布就不可能很好的進(jìn)行泊松近似. 正態(tài)分布與柯西分布、卡方分布及卡方分布與伽瑪分布之間的關(guān)系 首先來(lái)看正態(tài)分布與柯西分布的關(guān)系. 設(shè)且與獨(dú)立同分布，記,則.證明 易知的取值范圍是，所以對(duì)于，我們利用商的公式，可以得到 這正是時(shí)的柯西分布的密度函數(shù)，所以結(jié)論得證！正態(tài)分布與卡方分布的關(guān)系如下： 若隨機(jī)變量則定理證明見文獻(xiàn)[10].這說(shuō)明了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分