【正文】 ,對運用拉格朗日中值定理,則存在使得,由于,.故為函數(shù)的拐點.注:, 條件很苛刻,一般的函數(shù)的拐點很難滿足起條件的, 故一般不用它來判別一點是否為函數(shù)的拐點. 一般的話是用其推論來判別的,:例1和例2都可以用該判別法來判別. 拐點的第四充分條件:設函數(shù)在有定義,在點階可導,并且有,則1) 如果是奇數(shù)時,那么是函數(shù)的拐點。2) 如果在的某鄰域內,函數(shù)在的某一側鄰近沒有定義,則不是曲線的拐點.第3章 拐點的判定定理到目前為止,雖然有關判別拐點的方法已有很多結果,但是利用高階導數(shù)判別拐點并無系統(tǒng)的判別法,然后考察上述點的兩側二階導數(shù)的符號情況,異號為拐點,在一定的條件下,也可以通過考察所給點的兩側鄰近的一、三階導數(shù)符號來判定是否為拐點. 拐點的必要條件 :(拐點的必要條件)設函數(shù)在有定義,若為曲線的拐點,則或不存在.[1]:(拐點的必要條件)設函數(shù)在有定義,在處有二階導數(shù),則為曲線的拐點的必要條件是.事實上,設內。當時,曲線凹(上凸或下凹),因此有以下的特點:1) 在點點處連續(xù),且在點不可導,無切線.2) 在點的左右兩側,曲線改變了凹凸的方向.3) 在點處. 分析:定義1和定義2對拐點處切線存在未作要求,故由定義1和定義2知,例1中點為拐點。導數(shù)。極點。而定義3認為拐點處切線必須存在,故例1中不是拐點。內,則在內下降,在內上升,故在取極小值,考察這些點兩側的二階導數(shù)是否變號,如果變號則為拐點,如果不變號則不是拐點,因此連續(xù)函數(shù)出現(xiàn)拐點有以下情況:1) 若存在,且,在的兩旁的符號相反,點為拐點,.2) 若不存在,存在(為有限數(shù)),即在處曲線有不垂直于軸的切線存在,如在的兩旁的符號相反,:的拐點為.3) 若不存在,不存在,此時在處曲線無切線,在的兩旁的符號相反,(0,0).注:為的拐點而其逆命題(充分條件)不一定成立.例如:點滿足顯然由拐點的定義可知:點不是函數(shù)的拐點. 定理一和定理二只是一個必要條件,只能是由拐點而推出其二階導數(shù)為零,即:若二階導數(shù)存在且不為零,則肯定不是拐點。2) 如果是偶數(shù)時,那么不是函數(shù)的拐點.證明:將函數(shù)在點展開成泰勒公式(到階導數(shù)),即 兩邊對求導有兩邊對再求導有又由于 則有由引理1知,對充分接近于的,與有相同的符號.1) 當是奇數(shù)時,在的左領域內小于零,在的右領域內大于零。當為偶數(shù)時,即為偶數(shù)時,點不是拐點是極大值點.綜上所述, 該定理結論成立. 例2 設函數(shù),其中函數(shù)可導,且在區(qū)間內成立,在處二階可導,則點是函數(shù)的拐點,但不是極值點. 證明 由題可知則有 法一:由于且,.:點是函數(shù)的拐點,但不是極值點.法二:由于且當時,當時.:點是函數(shù)的拐點,但不是極值點. 第5章 拐點與極點的特殊判定定理及其聯(lián)系 極點的特殊判定定理 拐點的特殊判定定理第6章 拐點在情報學中的應用以上研究了數(shù)學中的拐點,但是拐點它不止出現(xiàn)在數(shù)學方面,情報預測曲線的拐點具有顯化事物發(fā)展加速度的正負轉折和明確包絡曲線切點的情報學意義,具有決策支持價值,情報預測及研究在從單純定性到結合定量的過程中,引入了大量數(shù)學方法、系統(tǒng)方法等進行規(guī)范演算和模擬,數(shù)學曲線也作為一個工具被廣泛運用,曲線的幾何形狀及幾何點便具有了一定的情報學意義而拐點就是有較突出性質的幾何點. 拐點的情報學意義拐點的利用以其情報學價值為基礎,它所具有的下列性質能為預測研究提供情報和證據(jù),在此意義上,拐點是一種待開發(fā)的情報內容,研究拐點只對一定條件的預測方法及預測曲線有良好的幫助效果,根據(jù)情報研究的最一般法則——適用性和可行性,這樣的預測曲線或其拐點至少應首先滿足下列個基本條件[13]: 1) 模型方程的曲線必須在理論上有拐點出現(xiàn),也就是曲線起碼應有凸凹趨勢的變化,凡只單調上升或單調下降的曲線及直線都沒有拐點. 2) 拐點應能補充說明曲線的一般性研究揭示不太直觀不太充分的情報內容,如果某一趨勢或性質通過對曲線的常規(guī)研究就能顯明,則沒有必要進一步去仔細研究其拐點. 3) 一條曲線上的拐點不能過多,、波動曲線是這方面的例證.4) 拐點必須易求出,難度不應大于得出曲線及加工曲線所進行的工作,也就是指,模型方程過于復雜,曲線本身不規(guī)則、不光滑,無明顯數(shù)學規(guī)律等情況下不宜去研究拐點. 拐點是事物發(fā)展加速度正負變化的轉折點和分段點,加速度為正,那么拐點另一邊曲線則表示速度減小,拐點處是速度的最高點,如果前一段曲線速度遞減,加速度為負,則后一段必然速度遞增,它不能在時間曲線上直接讀出來,由拐點所揭示的加速度正負轉折而決定的速度變化方向,與時間曲線上事物本身的變化方向是不可混同的,拐點的作用正在于它通過顯化加速的正負變化,揭示了速度的深層次變化,. 拐點的決策支持價值基于拐點的情報涵義,“拐點情報”在某些方面為決策提供了一些有用的依據(jù),亦即,它是有決策支持價值.如果分析得出拐點,表明產(chǎn)品銷量或技術發(fā)展等跨過該點后加速度由正轉變?yōu)樨?則速度將發(fā)生由增加到降低的變化,雖然產(chǎn)品銷量或技術發(fā)展水平本身越過該點后仍保持上升,但拐點揭示的深層情報則要求,必須對產(chǎn)品生產(chǎn)或技術投資預先采取一些控制措施,或制定相應的產(chǎn)品、技術轉移預備策略,無疑會失去搶先利用產(chǎn)品換代鞏固市場或進行技術革新保持優(yōu)勢的機會.針對實際需要,選定了某些曲線研究其拐點時一條曲線的所有拐點并非都具有同樣重要的實際意義,那些對預測目標沒有輔助或直接作用,或不說明實際間題,或位于已為眾所周知的過去時間段內的拐點等稱為無義拐點,剔除這些拐點不予研究是一個必不可少的步驟. 剔除拐點沒有數(shù)學上的標準,不起支持作用的非關鍵拐點不必細究,則應剔除例如:在某些曲線漸近線即飽和值附近的拐點,由于已接近飽和值,拐點值沒有相對獨立的意義,對于以后的變化趨勢不能有大的說明價值,如果決策所需要的是越過拐點后的趨勢值,則不須考慮拐點而直接以飽和值作為研究依據(jù). 情報學中邏輯曲線的求拐點公式 根據(jù)拐點的數(shù)學定義便可得出,. 設情報曲線模型方程為,其一階導數(shù), 二階導數(shù) , 當處的點就可能判斷它為拐點. 下面給出情報學上常用于求拐點的邏輯曲線的拐點求導公式:邏輯曲線的方程模型[13]是: , 其中, 是時間變量,是函數(shù),為參數(shù).其二階導數(shù)公式為,令, 解得有.此時,故點就為其拐點.