【正文】 ? 解 取 (0) (0,0,0)Tx ? ,且 ( ) 1 610nnxx????. 經(jīng)過 24 次迭代后求得 ( 4 .0 0 0 0 , 3 .0 0 0 0 , 2 .0 0 0 0 ) Tx ?? . 例 用 Jacobi 迭代法解線性方程組 121 2 323414443xxx x xxx????? ? ? ???? ? ? ?? 解 取 (0) (0,0,0)Tx ? ,且 ( ) 1 610nnxx????. 經(jīng)過 15 次迭代后求得 ( 00 , 0 , 00) Tx ??. 例 用 Jacobi 迭代法解線性方程組 Ax b? 其中 8 9920 1 1 1 01 20 0 0 11 0 20 0 10 0 01 0 0 20 10 1 1 1 20A?? ? ???????? ??????? ? ??? 1 2 9( , )Tx x x x? , ( 2 ,1 8 ,1 8 1 8 , 2 ) Tb ? ? ?. 解 取 (0) (0,0,0)Tx ? ,且 ( ) 1 610nnxx????. 經(jīng)過 8 次迭代后求得 ( 341 , 229 229 , 230 ) Tx ? . 以上例題的迭代結(jié)果比較如下 表 Jacobi 法迭代結(jié)果比較 迭代方法 題號 系數(shù)矩陣類型 迭代次數(shù) Jacobi 法 例 不規(guī)則矩陣 16 Jacobi 法 例 不規(guī)則矩陣 24 Jacobi 法 例 對稱矩陣 15 Jacobi 法 例 稀疏矩陣 8 由表 可以知道當(dāng)用 Jacobi 法求解線性方程組時(shí)，若系數(shù)矩陣為稀疏矩陣則所需的迭代次數(shù)比其它矩陣要少的多，即收斂速度要快；其中系數(shù)矩陣為對稱 矩陣時(shí)收斂速度也會(huì)比一般矩陣稍快。當(dāng) 1?? 時(shí) SOR 法與 GaussSeidel 法迭代次數(shù)一樣，因此也就驗(yàn)證了：當(dāng) 1?? 時(shí) SOR 法等價(jià)于 GaussSeidel 法；且當(dāng) 2?? 時(shí) SOR 迭代法不收斂。 計(jì)算公式為 (1 ) ( 0 ) ( 0 )p r b Ax? ? ?, 再依次計(jì)算 ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )( , ) / ( , )k k k kk r r A p p? ??? x , y x , y（ （ ） 表 示 向 量 的 內(nèi) 積 ）. ( ) ( 1 ) ( )( ) ( 1 ) ( )( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( ) ( )( , ) / ( , )( 1 , 2 )k k kkk k kkk k k kkk k kkx x pr r A pe r r r rp r e pk??????????????? 當(dāng) ij? 時(shí)， ( ) ( ) ( ) ( )( , ) 0 , ( , ) 0i j i jp Ap r r??, 從而， (1) (2),pp 形成一組共軛向量組； (0) (1),rr 形成一組正交向量組。 A(n,1)=0。*w)。 printf(input fang cheng zu de yuan(n10):\nn=)。a[i][j])。 } for(i=1。 getch()。i++) { x2[i]=0。 while(bk!=1) { for(i=1。i++) { 31 x1[i]=x2[i]。 printf(input song chi yin zi:\n w=)。 while(jn+1) { printf(a%d%d=,i,j)。 if (i=j) temp2=a[i][j]*x1[j]+temp2。i++) { printf(x%d=% ,i,x1[i])。 } N=N+1。in+1。 printf(\n enter fang cheng zu xi shu:\n)。 printf(SOR Method:\n)。 temp=fnum。i++) { printf(b%d=,i)。 scanf(%f,amp。i++) { printf(x%d=% ,i,x1[i])。jn+1。in+1。在大學(xué)的四年中還得到眾多老師的關(guān)心和幫助。 if NUM==1 p=r, else l=q/q1。 A(:,1)=A(:,1)+F39。本文主要介紹了共軛梯 度法（簡稱 CG 法） [5][6] 。0 , 0( ( [ ] [ ] )x x nbk N t e mpw hi l e bki f j it e mp a i j x j t e mpi f i jt e mp a i j x j t e mpx i x i a i n t e mp t e mp a i it e mp t e mpi f f abs x i x i p??? ? ?? ? ?????????? ? ? ? ???? ??初 值松 弛 因 子 取121( 10 , 6) )1[ ] [ ]1[]1owbkx i x iNNx x iN??????? 運(yùn)用附錄中的程序 3 求解下列線性方程組 。 設(shè) 0( 1, 2, , )iia i n?? ，并將 A 分為三部分 ,A D L U? ? ? （ ） 其中 5 1122 ,nnaaDa????????? 211 ,1 1 , 2,1 , 2 , 100,00nnn n n naLaaa a a?????????????? ? ??? 1 , 2 1 , 1 1 ,2 , 1 2 ,1,00.00nnnnnna a aaaUa???? ? ????????????? 雅可比法 取 M 為 A 的對角元素部分，即取 MD? ， A D N?? ,由 ()式得雅可比 (Jacobi)迭代法 ( 0 )( 1 ) ( ) ( 0 , 1 , ) ,kkxx B x f k????? ? ??? （ 初 始 向 量 ） () 其中 1 1 1( ) ,B I D A D L U J f D b? ? ?? ? ? ? ? ?. Jacobi 迭代法（ ）的分量計(jì)算公式 ( ) ( ) ( ) ( )1( , , , , ) .k k k k Tinx x x x? 由 Jacobi 迭代公式 ()有 1( 1 ) ( ) ( )11 ( 1 , 2 , , )ink k kii i ij j ij j ij j ia x a x a x b i n??? ? ?? ? ? ? ???. 因此 Jacobi 迭代法的計(jì)算公式為 6 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )1( 1 ) ( )1( , , ) ,( ) /( 1 , 2 , , ) ( 0 , 1 , ) .Tnnkki i ij j iijjix x xx b a x ai n k???? ??????????????表 示 迭 代 次 數(shù) （ ） Jacobi 迭代法算法為 011212121[ 1 ]0 。線性方程組的求解主要有直接法和迭代法兩種，本文主要討論了求解線性方程組的重要方法 迭代法中的幾種比較常用的方法；如雅可比迭代法、高斯 塞德爾迭代法、逐次超松弛迭代法和共軛梯度迭代法等；文中將會(huì)利用相關(guān)例題對迭代法及其收斂性進(jìn)行驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。并借助計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度快的優(yōu)勢，以及迭代法適合計(jì)算機(jī)求解的優(yōu)點(diǎn)，編寫出各迭代法的程序，然后對各迭代法進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)找出某一種迭代法的某些特點(diǎn)，為求解 實(shí)際問題提供參考和幫助。這是本文的主要內(nèi)容規(guī)劃。 linear equations。 高斯 塞德爾迭代法 取分裂矩陣 M 為 A 的下三角部分，即 M D L??, A M N??,于是由 （ ） 式得高斯 塞德爾 (GaussSeidel)迭代法 9 ( 0 )( 1 ) ( ) ( 0 , 1 , ) ,kkxx B x f k????? ? ??? （ 初 始 向 量 ） () 其中 1 1 1BI ? ? ?? ? ?（ DL ） A= （ DL ） UG ， f= （ DL ） b. GaussSeidel 迭代法的分量計(jì)算公式 為 ( ) ( ) ( ) ( )1( , , , , ) .k k k k Tinx x x x? 由 GaussSeidel 迭代公式 ()有 1( 1 ) ( 1 ) ( )11 ( 1 , 2 , , ) .ink k kii i i ij j ij jj j ia x b a x a x i n???? ? ?? ? ? ??? 因此 GaussSeidel 迭代法計(jì)算公式為 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )11( 1 ) ( 1 ) ( )11( , , ) ,( ) /( 1 , 2 , , 。 基本迭代法的收斂性 例 [12] 方程組 1 2 31 2 31 2 31 0 2 7 .21 0 2 8 .32 2 1 0 8 .4x x xx x xx x x? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? 的精確解為 * ( , , )Tx ? . 把方程組化為 17 1 2 32 1 33 1 20. 1 0. 2 0. 720. 1 0. 2 0. 830. 2 0. 2 0. 84x x xx x xx x x? ? ???? ? ???? ? ?? 取初始向量 (0) (0,0,0)Tx ? ,用 Jacobi 迭代法計(jì)算后的結(jié)果如表 ，從結(jié)果可以看出近似解序列以精確解為極限收斂。若沒有舍入誤差，最多 進(jìn)行 n 次迭代就可以得到線性方程組（ ）的精確解。 %以上步驟 取得 A 為 n 階對稱正定矩陣 for i=1:n X(i)=1。 x=x+j*p。 scanf(%d,amp。 j++。in+1。 } 程序 2： /*x1 是方程組的初始值 ,a[i][j]為系數(shù)矩陣 ,a[i][n+1]為常數(shù)項(xiàng) */ include include void main() { float a[11][12],x1[11],x2[11],temp=0,temp1=0,temp2=0,fnum=0。 } printf(\n input fang cheng zu xi shu:\n)。in+1。 } N=N+1。 scanf(%f,amp。 32 scanf(%f,amp。 } x2[i]=x1[i]+w*(a[i][n+1]temp1temp2)/a[i][i]。 printf(\n)。i++) { x1[i]=x2[i]。 while(bk!=1) { for(i=1。i++) x2[i]=0。 int i,j,n,bk=0, N=1。i++) { fnum=(fabs(x1[i]x2[i]))。in+1。 /*printf(x1[%d]=,i)。in+1。i++) { for(j=1。 for(i=1。 參考文獻(xiàn) [1] 李慶揚(yáng)，王能超，易大義 .數(shù)值分析 [M].北京：清華大學(xué)出版社， 2020:236~256. [2] 潭浩強(qiáng)，張基溫等編 .