函數(shù)的凹凸性在不等式證明中的應(yīng)用(留存版)
【正文】 證明 先將原不等式化為 因?yàn)?為上的凸函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，有 令則 而 所以 這道題目很難用初等知識(shí)證明，但通過構(gòu)造凸函數(shù) 巧妙地令，便可很方便的證得.例5 設(shè)和 是兩組正數(shù)， .證明 . 證明 要證原不等式即要證明 . 令,則由于，所以為凹函數(shù)，由不等式 即得所證。判定定理：設(shè)為區(qū)間上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在上為凸函數(shù)的充要條件是，．證明：對于區(qū)間內(nèi)的任意（不妨設(shè)）以及，令，則有，由泰勒公式，得 及，其中，于是再進(jìn)一步由，所以即 。定理：（不等式）若為上的凸函數(shù)，則 , ，有.證明 ，,則 與都有現(xiàn)設(shè)及（i=1,2,…k+1）,.令i=1,2,…,k,= = 即對任何正整數(shù),上述不等式成立.推論：設(shè)在區(qū)間I上有定義, 在區(qū)間I為是凸函數(shù)，則,有。
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