【正文】 ：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上．21． 歐拉（Euler）公式：設三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R2－2Rr．22． 銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和．23． 重心：三角形的三條中線交于一點，并且各中線被這個點分成2：1的兩部分；重心性質(zhì)：（1）設G為△ABC的重心，連結AG并延長交BC于D，則D為BC的中點，則； （2）設G為△ABC的重心，則；（3）設G為△ABC的重心，過G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，過G作PF∥AC交AB于P，交BC于F，過G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，則；（4）設G為△ABC的重心，則①；②；③（P為△ABC內(nèi)任意一點）；④到三角形三頂點距離的平方和最小的點是重心，即最??； ⑤三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點是重心；反之亦然（即滿足上述條件之一，則G為△ABC的重心）．24． 垂心：三角形的三條高線的交點；垂心性質(zhì)：（1）三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍；（2）垂心H關于△ABC的三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上；（3）△ABC的垂心為H，則△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓；（4）設O，H分別為△ABC的外心和垂心，則．25． 內(nèi)心：三角形的三條角分線的交點—內(nèi)接圓圓心，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等； 內(nèi)心性質(zhì)：（1）設I為△ABC的內(nèi)心，則I到△ABC三邊的距離相等，反之亦然；（2）設I為△ABC的內(nèi)心，則；（3）三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點到另兩頂點的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若平分線交△ABC外接圓于點K，I為線段AK上的點且滿足KI=KB，則I為△ABC的內(nèi)心；（4）設I為△ABC的內(nèi)心， 平分線交BC于D，交△ABC外接圓于點K，則；（5）設I為△ABC的內(nèi)心，I在上的射影分別為，內(nèi)切圓半徑為，令，則①；②；③．26． 外心：三角形的三條中垂線的交點——外接圓圓心，即外心到三角形各頂點距離相等；外心性質(zhì)：（1）外心到三角形各頂點距離相等；（2）設O為△ABC的外心，則或；（3）；（4）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和．27． 旁心：一內(nèi)角平分線與兩外角平分線交點——旁切圓圓心；設△ABC的三邊令，分別與外側相切的旁切圓圓心記為，其半徑分別記為．旁心性質(zhì)：（1）（對于頂角B，C也有類似的式子）；（2）；（3）設的連線交△ABC的外接圓于D，則（對于有同樣的結論）；（4）△ABC是△IAIBIC的垂足三角形，且△IAIBIC的外接圓半徑等于△ABC的直徑為2R．28． 三角形面積公式：，其中表示邊上的高，為外接圓半徑，為內(nèi)切圓半徑，．29． 三角形中內(nèi)切圓，旁切圓和外接圓半徑的相互關系： 30． 梅涅勞斯（Menelaus）定理：設△ABC的三邊BC、C