【正文】 關(guān)且噪聲在變換后有白化趨勢所以小波域比空域更利于去噪 ④[6]① 尺度是許多物理現(xiàn)象內(nèi)在特性信號特別是圖像信號含有不同分辨率的物理結(jié)構(gòu)特征 ② 多分辨率分 析就是在不同尺度不同分辨率下研究信號從頻域觀點看信號多分辨率分解相當于信號多頻道分解 ③ 多分辨率技術(shù)往往表現(xiàn)出某些計算的優(yōu)越性 多分辨跟小波變換建立了密切的聯(lián)系小波變換作為信號分辨率分析的有力工具而多分辨率分析理論又為小波變換提供了數(shù)學(xué)上的理論基礎(chǔ)和一種構(gòu)造各正交小波基雙正交小波基等的簡單方法 常用小波函數(shù) ① Haar 小波最早最簡單的小波本身是一個階躍函數(shù) ② Daubechies 小波其系列簡寫為 dbNN 本身階數(shù) db 是小波名字的前綴 SymletA 小波族即 symN 小波族類似于 db 小波族但具有更好的對 稱性④ Molet 小波是一個具有解析表達式的小波但不具備正交性所以只能滿足連續(xù)小波的可允條件不能做離散小波變換和正交小波變換 連續(xù)小波變換 設(shè)函數(shù)具有有限能量即定義 31 如果滿足以下條件 32 那么下式就稱為小波函數(shù) 33 其中稱為基小波函數(shù)為尺度因子為位移因子若 1 函數(shù)具有伸展作用 1 函數(shù)具有收縮作用由式 33可以看出小 波函數(shù)就是一個滿足式 32的函數(shù)經(jīng)過伸縮和平移得到的一族函數(shù) 小波的選擇既不是唯一的也不是任意的它應(yīng)滿足如下兩個條件 ① 定義域是緊支撐的 Compact Support 換句話說就是在一個很小的區(qū)間之外函數(shù)為零也就是說函數(shù)應(yīng)具有速降特性以便獲得空間局域化 ② 平均值為零即 34 甚至其高階矩陣也為零即 35 上述兩個條件可以概括為小波應(yīng)是一個具有振蕩性和迅速衰減的波 事實上傅里葉變換就是所有時間上的信號與負指數(shù)的乘積之和同樣的連續(xù)小波變換 CWT Continual Wavelet Transform 定義為所有時間上的信號與小波函數(shù)的乘積之和 36 其逆變換為 37 式 36為小波公式式 37為小波重構(gòu)公式從這兩個式子可以看出一個一維函數(shù)的連續(xù)小波是一個雙變量函數(shù)因此稱連續(xù)小波變換是超完備的因為它要求的存儲量和代表的信息量都增加了如果是一個二維函數(shù)那么它的連續(xù)小波變換定義如 下 38 其中和表示在兩個維度上的平移小波變換的時寬和頻寬的乘積都很小而且在時間和空間上都很集中小波系數(shù)能非常清楚地說明在時間點上不連續(xù)點的準確位置二維連續(xù)小波的逆變換的定義如下 39 離散小波變換 ⒈ 離散小波的定義 連續(xù)小波變換主要用于理論分析在實際應(yīng)用中離散小波變換 DWT Discrete Wavelet Transform 更適用于計算機處理離散小波的定義表示為 10 則相應(yīng)的小波變換可由式定義 ⒉應(yīng)滿足下列六個條件 ① 它是一個平均函數(shù)與小波函數(shù)相比較其傅里葉變換具有低通特性具有帶通特性 ② 即尺度函數(shù)是范數(shù)為 1 的規(guī)范化函數(shù) ③ 尺度函數(shù)對所有的小波是正交的 ④ 尺度函數(shù)對于平移是正交的但對于伸縮來說不是正交的 ⑤ 某一尺度上的尺度函數(shù)可以由下一尺度的線性組合得到 ⑥ 尺度函數(shù)與小波是有關(guān)聯(lián)的小波可以由尺度函數(shù)的伸縮和平移的線性組合獲得這就是構(gòu)造小波正交基的途徑 ⒊ 緊支集是小波變換中經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)概念它是衡量小波性能的重要指標函數(shù)的支集或支撐區(qū) supp 是指其最大開集的補集函數(shù)的支集就是函數(shù)定 義域的閉子集也就是說這樣一個最小的閉子集或區(qū)間使得在之外函數(shù)為零如果說函數(shù)是緊支集就是指的支撐區(qū) supp是緊支集即 supp是有界閉區(qū)間一個序列是緊支撐的就是說有有限多的元素在域中為零稱它為有限支撐與緊支集概念相聯(lián)系的是函數(shù)的平滑性和速降性 ⒋小波去噪⒈ 去噪原則 Min Estimator 二是在大部分情況下去噪后的信號應(yīng)該至少和原信號具有同等的光滑性一般用正則性來刻劃函數(shù)的光滑程度正則性越高函數(shù)的光滑性越好 此外因為圖像信號都是二維的在對數(shù)字圖像處理時要對小波進行二維離散小波變換二維離散小波變換往往可以 由一維信號的離散小波變換推導(dǎo)得到而二維雙正交小波變換可以分解為兩個一維小波變換即首先進行方向變換然后進行方向變換便可以完成二維正交變換而逆變換反之就可實現(xiàn)假設(shè)為一維尺度函數(shù)為相應(yīng)的小波函數(shù)則可以得到二維小波變換的基礎(chǔ)函數(shù) 其中分別是沿著和兩個方向上的一維小波函數(shù) A是近似系數(shù) H是水平細節(jié)系數(shù) V 是豎直細節(jié)系數(shù) D 是對數(shù)細節(jié)系數(shù)且有 n 為非負整數(shù) 任何平方可積的二維函數(shù)都能夠分解成為最低分辨率尺度上的平滑函數(shù)更高尺度上的細節(jié)函數(shù) 具體的說在經(jīng)過每次小波變換后圖像便可分為四個 大小為原始尺寸的四分之一的子塊頻帶區(qū)域它們分別是低低 LL 低高 LH 高低 HL 和高高 HH 如圖 31所示它分別包含了相應(yīng)頻帶上的小波系數(shù)相當于在水平方向和豎直方向上進行隔點采樣進行下一層小波變換時數(shù)據(jù)就集中在 LL頻帶進一步對 LL子圖像應(yīng)用二維小波變換構(gòu)造下一尺度的四個子圖像直至得到滿意的小波尺度為止這里的 LL稱為近似分量 HHLH和 HL稱為細節(jié)分量小波變換為圖像去噪提供很好的圖像表示形式通過對變換后的系數(shù)進行分析和適當?shù)娜∩嵩僦貥?gòu)圖像最終實現(xiàn)圖像的去噪處理 LL1 HL1 LH1 HH1 圖 31 次離散小波變換后的頻率分布 ⒉Donoho 等人提出了一種通用閾值選取方法從理論上給出 并證明閾值與噪聲的成正比其大小為層子層帶上的小波系數(shù)個數(shù)為噪聲的方差 ⒊ 基本去噪模型 如果一個信號被噪聲污染后為那么基本的噪聲模型為 31 為噪聲為噪聲強度在最簡單的情況下可以假設(shè)為高斯白噪聲且 1 小波變換的目的就是要抑制以恢復(fù)即盡量將去掉并且盡量減少的損失與在經(jīng)典去噪技術(shù)相比小波分析在這方面有其優(yōu)越性尤其是的分解系數(shù)比較稀松即非零項很少的情況下這種方法的效率很高這種可以分解為稀松小波稀松的函數(shù)的一個簡單的 例子就是有少數(shù)間斷點的光滑函數(shù) 去噪步驟 MATLAB 中用于小波變換的函數(shù)為 [CL] wavedec XN name 用名稱為 me 的小波函數(shù)完成對信號 X的一維多尺度系數(shù)組成這個函數(shù)返回一個分解向量 C和程度向量 L 一般來說一維的去噪處理可以分三步 [7] ① A appcoef CL nameN 用于小波分解結(jié)構(gòu) [CL]中提取一維信號在第 N 層上的低頻系數(shù) ② D detcoef CLN 用于小波分解結(jié)構(gòu) [CL]中提取一維信號在第 N 層上的高頻系數(shù)小波即分解高頻系數(shù)的閾值量化 ③ X waverec CLN 根據(jù)系 數(shù)向量重構(gòu)信號 X 其中最重要的一步是如何選取閾值和進行閾值量化處理的方式它直接關(guān)系到信號去噪處理的質(zhì)量 [8]小波分析工具箱中用于信號去噪處理的函數(shù)如表 1所示表 31 用于信號去噪處理的 MATLAB函數(shù) 函數(shù)名 函數(shù)功能 Ddencmp 自動生成小波去噪或壓縮處理的閾值處理方案 Thselect 選取用于小波去噪處理的閾值 Wden 一維信號的去噪處理 Wpdencmp 一維信號的小波去噪或去噪處理 Wnoise 產(chǎn)生用于測試的有噪信號 Wthcofe 對一維小波分解結(jié)構(gòu)的閾值處理 Wthresh 軟閾值或硬閾值處理 下面對表 1 中函數(shù)進行說明 Ddencmp 函數(shù) 調(diào)用方式 [thrsorhkeepappcrit] ddencmp in2x ● 輸入?yún)?shù)