【正文】 ? 對偶問題 ? 如果 xn+1=h(x)?g(x)，其中 g(x) 為 (n－ k) 次多項(xiàng)式，以 g(x)為生成多項(xiàng)式，則生成一個 (n,k) 循環(huán)碼； ? 以 h(x) 為生成多項(xiàng)式，則生成 (n,n－ k) 循環(huán)碼； ? 這兩個循環(huán)碼互為對偶碼。 [解 ]： 分解多項(xiàng)式 xn+1，取其 4次因式作生成多項(xiàng)式 x7+1= (x+1) (x3+x2+1) (x3+x+1) 可將一次和任一個三次因式的乘積作為生成多項(xiàng)式，因而可取 g1(x)= (x+1) (x3+x2+1) = x4+x2+x+1 或 g2(x)= (x+1) (x3+x+1) = x4+x3+x2+1 (5) 循環(huán)碼的監(jiān)督多項(xiàng)式和監(jiān)督矩陣 ? 循環(huán)碼的監(jiān)督多項(xiàng)式 ：設(shè) g(x) 為 (n,k) 循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式，必為 (xn+1) 的因式，則有 xn+1=h(x)?g(x)，式中h(x) 為 k 次多項(xiàng)式，稱為 (n,k) 循環(huán)碼的監(jiān)督多項(xiàng)式。 (4) 舉例： (7,3) 循環(huán)碼 可由任一個碼矢，比如 (0011101) 經(jīng)過循環(huán)移位，得到其它 6個非 0碼矢； 也可由相應(yīng)的碼多項(xiàng)式 (x4+x3+x2+1)，乘以xi(i=1,2,… ,6)，再模 (x7+1)運(yùn)算得到其它 6個非 0碼多項(xiàng)式。在 (n,k) 循環(huán)碼的 2k 個碼字中，取前 (k－ 1) 位皆為 0的碼字 g(x)（其次數(shù) r=n－ k），再經(jīng) (k－ 1) 次循環(huán)移位，共得到 k 個碼字 : g(x),xg(x),… ,xk－ 1 g(x) 這 k 個碼字顯然是相互獨(dú)立的，可作為碼生成矩陣的 k 行，于是得到 循環(huán)碼的生成矩陣 G(x) (2) 循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式 ? 碼的生成矩陣一旦確定，碼就確定了； ? 這就說明： (n,k) 循環(huán)碼可由它的一個 (n－ k) 次碼多項(xiàng)式 g(x) 來確定； ? 所以說 g(x) 生成了 (n,k) 循環(huán)碼，因此 稱 g(x) 為碼的生成多項(xiàng)式 。 線性碼的譯碼是根據(jù)接收字多項(xiàng)式的伴隨式和可糾的錯誤圖樣間的一一對應(yīng)關(guān)系，由伴隨式得到錯誤圖樣； 循環(huán)碼是線性碼的一個特殊子類，循環(huán)碼的譯碼與線性碼的譯碼步驟基本一致。 ? 舉例：求 (7,3) 循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式。寫作 因此， C(x) 的 i 次循環(huán)移位 C(i)(x) 是 C(x) 乘以 xi 除以 (xn+1) 的余式，即 ? 結(jié)論 ：循環(huán)碼的碼矢的