【正文】 院非線性擬合舉例例例 5在某化學(xué)反應(yīng)里，根據(jù)實驗所得生成物的濃度與時間在某化學(xué)反應(yīng)里，根據(jù)實驗所得生成物的濃度與時間關(guān)系數(shù)據(jù)見下表，求濃度關(guān)系數(shù)據(jù)見下表，求濃度 y與時間與時間 t 的擬合曲線的擬合曲線 y =對非線性最小二乘擬合問題，雖然仍可對非線性最小二乘擬合問題，雖然仍可由偏差平方和對由偏差平方和對 aj求偏導(dǎo)生成方程組求偏導(dǎo)生成方程組 :與與 ?線性無關(guān)線性無關(guān) 作兩個推廣：作兩個推廣： 1.例例 2a1與求解與求解 矛盾線性方程組的最小二乘法矛盾線性方程組的最小二乘法 的方法相同，由多的方法相同，由多元函數(shù)求極值的必元函數(shù)求極值的必要條件，得方程組要條件，得方程組 :( xn,yn)的距離平方和最小的曲線的距離平方和最小的曲線 y=設(shè) y上一章介紹的插值方法就是一種逼近，要求在給定的上一章介紹的插值方法就是一種逼近，要求在給定的節(jié)點處節(jié)點處 P(x)近似地替代近似地替代給定的函數(shù)給定的函數(shù) f (x)（（ 或者是以離散數(shù)據(jù)形式給或者是以離散數(shù)據(jù)形式給定的函數(shù)），以便迅速求出函數(shù)值的近似值定的函數(shù)），以便迅速求出函數(shù)值的近似值，是計算數(shù)學(xué)中最基本的概念和方法，稱為，是計算數(shù)學(xué)中最基本的概念和方法，稱為函數(shù)逼近函數(shù)逼近 。167。2最佳一致逼近最佳一致逼近Date 阜師院數(shù)科院函數(shù)逼近 （曲線擬合） 概述yi 總體上盡可能小 即要求即要求P(x)盡可能反映給定數(shù)據(jù)點的總體趨勢盡可能反映給定數(shù)據(jù)點的總體趨勢 ，下面先舉例說明。稱為稱為 偏差偏差 。按準則按準則 （（ 3）） 確定參數(shù)，求近似函數(shù)的方法稱為最佳平確定參數(shù)，求近似函數(shù)的方法稱為最佳平方逼近方逼近 ,要求 Ln(xi)yi 總體上盡可能小,滿足 準則準則 （（ 3）） 稱為稱為 最佳平方逼近最佳平方逼近 ,在在離散情況下離散情況下 ,也稱為也稱為 曲線擬合的最小二曲線擬合的最小二乘法乘法 .Date 阜師院數(shù)科院167。的平方和為最小，即的平方和為最小，即 :函數(shù)等。a0+a0x擬合例擬合例 1中數(shù)據(jù)組所中數(shù)據(jù)組所給定的函數(shù)關(guān)系，將所給數(shù)據(jù)代入正規(guī)方程組可得：給定的函數(shù)關(guān)系，將所給數(shù)據(jù)代入正規(guī)方程組可得： a0+a1xDate 阜師院數(shù)科院最小二乘擬合函數(shù)定理定理定理 2Date 阜師院數(shù)科院定理 2（續(xù)） 合適的函數(shù)類型是十分重要的。線性時，稱為非線性最小二乘擬合問題。的非線性方程組，要求解是的非線性方程組，要求解是很困難的，因此，一般的非線性最小二乘擬合問題很困難的，因此，一般的非線性最小二乘擬合問題不作詳細討論。?b是非線性的為確定是非線性的為確定 a,可以選用適用于程組這一困難，要克服這一困難。解解 ：： 若沒有給出若沒有給出 ?i=1， {?0(x), ?1(x),…, ?m(x)} 方案 II：：用離散正交多項式進行最小二乘曲線擬合用離散正交多項式進行最小二乘曲線擬合 ,亦即求亦即求 為給定數(shù)據(jù)。m成立。 按式按式 （（ 66），（），（ 67）） 構(gòu)造的多項式系構(gòu)造的多項式系 {?0, ?1,…, ?n }是點集是點集 {x1,x2,…, xn}上關(guān)于上關(guān)于 ?i 的的離散正交多項式。的的 離散正交多項式系離散正交多項式系 。本節(jié)考慮用本節(jié)考慮用 正交多項式正交多項式 來進行曲線擬合來進行曲線擬合Date 阜師院數(shù)科院的誤差比較小，的誤差比較小，用它作為擬合曲線更好。那么，怎樣比較兩個那么，怎樣比較兩個 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 的好壞呢？一般可通過比的好壞呢？一般可通過比較擬合函數(shù)與所給數(shù)據(jù)較擬合函數(shù)與所給數(shù)據(jù) 誤差大小誤差大小 來確定。 ti 9 10 11 12 13 14 15 16yi(*103) 解：解： 將數(shù)據(jù)標在坐標紙上如圖將數(shù)據(jù)標在坐標紙上如圖 62由圖看到開始時濃度增由圖看到開始時濃度增加較快，后來逐漸減弱，到一定時間就基本穩(wěn)定在一個數(shù)加較快，后來逐漸減弱，到一定時間就基本穩(wěn)定在一個數(shù)值上。特征，而且使特征，而且使 間項為：間項為： ?對對 aj 求偏導(dǎo)數(shù)令其為求偏導(dǎo)數(shù)令其為 0i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 這種求近似函數(shù)的方法稱為這種求近似函數(shù)的方法稱為 離散數(shù)據(jù)曲線擬合的最小離散數(shù)據(jù)曲線擬合的最小二乘法二乘法 ，函數(shù)，函數(shù) ? (x)要求（準則或標準）不一樣，逼要求（準則或標準）不一樣，逼近的意義不一樣，因此，方法不一樣近的意義不一樣，因此，方法不一樣，結(jié)果也不一樣。值達到最小，即值達到最小，即 :（（ 3）使偏差的平方和最小，即）使偏差的平方和最小，即 :yi取何值，直線都不可能同時過全部數(shù)據(jù)點。因此，對逼近函數(shù)逼近函數(shù) P(x)不必要求過給定的點，即不要求不必要求過給定的點，即不要求 P(xi)分段多項式，三角多項式等。正交多項式曲線擬合正交多項式曲線擬合函數(shù)的最佳平方逼近函數(shù)的最佳平方逼近167。Date 阜師院數(shù)科院函數(shù)逼近 （曲線擬合） 概述（續(xù)）=怎樣選取怎樣選取 a0， a1才能使直線才能使直線 “最好最好 ”地反映數(shù)據(jù)點的總體趨地反映數(shù)據(jù)點的總體趨勢？首先要建立好壞的標準。?yi*=yi ?準則準則 （（ 1）） 的提出很自然也合理，但實際使用不方便，的提出很自然也合理，但實際使用不方便，按準則按準則 （（ 2）） 求近似函數(shù)的方法稱為函數(shù)的最佳一致逼近求近似