【正文】 (18) (11) 5 (13) 6 (16) 7 序號(hào) 1Q 2Q 3Q 在這樣的分配方案下 , 丙系保住了一個(gè)席位 . 思考題 在分配問(wèn)題中 , 能否采用先取整數(shù)部分 , 最后對(duì)小數(shù)部分 用 值方法進(jìn)行分配 . Q 在上面問(wèn)題中 , 整數(shù)名額分配為 10, 6, 3. 此時(shí)計(jì)算的 Q值分別為 因而最后的名額應(yīng)該給 C系 . 似乎這樣沒(méi)問(wèn)題 . 1Q 2Q 3Q 20 序號(hào) 因而第 20個(gè)名額給甲系 , 再計(jì)算 1 8 0 .3 7 .Q ?而 ? ?1 2 3 3m a x , , 9 6 . 3 3 ,Q Q Q Q??例 有 6個(gè)單位 , 成員總數(shù)為 10000, 席位數(shù)為 100, 下表中 分配的結(jié)果 , 而第五列是直接用 值方法進(jìn)行分配的結(jié)果 . Q2 1 156 5 2 2 157 4 2 2 158 3 2 2 159 2 90 92 9215 1 值法 余數(shù)法 比例值 成員數(shù) 單位序號(hào) Q 的第四列是先對(duì)整數(shù)部分進(jìn)行分配，然后對(duì)余數(shù)用 值法 Q 事實(shí)上 , 當(dāng)單位 1在分配到第 90個(gè)名額時(shí) , 相應(yīng)的 為 Q219215 10 36 8 ,90 91Q ???而當(dāng)單位 2分配到 1個(gè)席位時(shí) , 相應(yīng)的 為 Q22159 12 64 0. 5 ,2Q ??26155 1 2 0 1 2 .5 ,2Q ??100 100 100 10000 總和 2 1 155 6 值法 余數(shù)法 比例值 成員數(shù) 單位序號(hào) Q 由此可見(jiàn)余下的席位應(yīng)分配給給單位 2, 3, 4, 5, 6. 上例說(shuō)明 , 當(dāng)各單位的成員數(shù)相差比較大時(shí) , 應(yīng)從一開(kāi) 始就采用 值方法 . Q 下面是用 值方法計(jì)算分配問(wèn)題的 MatLab程序 . Q由此得到相應(yīng)的分配方案 : ? ?1 1, 6, 4 進(jìn)一步地 , 若席位數(shù)再增加 4個(gè) , 丙系的席位數(shù)沒(méi)有發(fā) 丙系得了不少“便宜” . 生變化 , 此說(shuō)明的是 : 你是否能提供一個(gè)分配方案？ 五、實(shí) 物 交 換 甲有面包若干 , 乙有香腸若干 . 二人共進(jìn)午餐時(shí)希望相 互交換一部分 , 達(dá)到雙方滿意的結(jié)果 . 如何交換 ! 用圖解的方式給出實(shí)物交換的數(shù)學(xué)模型 ! 交換 設(shè)交換前甲占有物品 為 乙占有物品 為 0,x 0,yX Y后分別占有物品為 ,.xy無(wú)差別曲線 交換方案 xyO 0x0y1y1P2P3PM1M1x2y2xN 1N 無(wú)差別曲線意義 . 在點(diǎn) 處甲擁有物品 的數(shù)量為 1PX1,x擁有物品 的數(shù) Y量為 1,y在無(wú)差別曲線弧線 上的點(diǎn) 處 , 甲擁有物 MN2P品 的數(shù)量為 X2,x擁有物品 的數(shù)量為 Y2,y此說(shuō)明甲愿 意以 的減少量 y 21yy?來(lái)?yè)Q取 的增加量 ?x 無(wú)差別曲線記為 ? ? 1,.f x y c? 滿意度的增加意味著曲線向右上的平移 ! 同理 , 乙對(duì)物品 和 也有無(wú)差別曲線 , 記為 X Y? ? 2,.g x y c? 對(duì)乙而言 , 滿意度的增加意味著曲線向左下的平移 ! 兩族無(wú)差別曲線的切點(diǎn)形成交換路徑曲線 .ABxyO 0x0yO?AB 等價(jià)交換原則 交換點(diǎn)是曲線 與直線 的交點(diǎn) AB CD !PxyO 0x0yO?ABCDP 無(wú)差別曲線為下凸曲線弧的說(shuō)明 當(dāng)甲在擁有較多的物品 時(shí) , 他愿意以較多的 來(lái)?yè)Q X x?x?x?y?y?xy取較少的 。 ⒊ 鉀肥 K的施用量的增加開(kāi)始時(shí)對(duì)作物產(chǎn)量的影響較明 顯 , 逐漸的影響趨于緩和而鉀肥 K對(duì)生菜產(chǎn)量的作用關(guān)系 幾乎是一條水平直線 , 這可能是生菜的生長(zhǎng)對(duì)鉀肥的需求 量較小 , 但也可能是由于土壤中含有的天然鉀肥已足夠滿 足生菜生長(zhǎng)的需求 . 應(yīng)用 在我們得到的函數(shù)基礎(chǔ)上 , 可以進(jìn)行每種肥料最佳施用 量的分析 . 我們的討論不是基于產(chǎn)量最高時(shí)的最佳施肥量 , 表示農(nóng)作農(nóng)作物產(chǎn)品單價(jià) , 則肥料單價(jià)則效益 , 而是使得經(jīng)濟(jì)效益最大的最佳施肥量 . 如果以 分別 ,wxTTwxL w T x T? ? ? ?要使得效益最大 , 則有 d 0.dLx ?又由于 為常數(shù) , 有 ,xwTTd .dxwTwxT?由此即可求出使得效益最佳的最佳施肥量 .x 如果確定了每種肥料在一定條件下的最佳施肥量 , 綜合平衡三種肥力交互作用對(duì)農(nóng)作物產(chǎn)量的影響以 及施肥量固定在第七個(gè)水平的操作原理 , 可確定“既能達(dá) ,NP??,K?到高產(chǎn) , 又不浪費(fèi)肥料”的總體最佳施肥量 . 三、渡河問(wèn)題 過(guò)河問(wèn)題是一個(gè)比較古老而又十分有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題 , 并 且有很多描述 . 這里僅僅是其中的一種描述 . 問(wèn)題 有三名商人各帶一名隨從要乘一條小船過(guò)河 , 該船每次 最多只能容納兩個(gè)人 . 并且由于某種原因 , 商人們總是提 防著隨從們 , 預(yù)感到一旦在任何地方只要隨從人數(shù)多于商 人數(shù)，隨從就會(huì)對(duì)商人構(gòu)成危害 . 但是由于商人們控制著 如何乘船的指揮權(quán) , 所以商人們就可以設(shè)計(jì)一個(gè)安全的過(guò) 河方案 , 確保商人和隨從能順利過(guò)河 . 試為商人找出這樣的過(guò)河方案 . 建模 設(shè)在過(guò)河過(guò)程中 , 此岸的商人數(shù)為 ,x隨從數(shù)為 .y則向量 ? ?,xy 表示為在渡河過(guò)程中在此岸的商人數(shù)和隨從數(shù) , 該 向量稱為 狀態(tài)向量 . 而 ? ?? ?, | , 0 , 1 , 2 , 3E x y x y??為所有可能的狀態(tài)向量集合 . 在該集合中 , 有一部分對(duì)商人 ⒁ 是安全的 , 稱為容許狀態(tài)集合 , 記其為 即有 .S? ?? ? ? ?? ?3 , 0 , 1 , 2 , 3 0 , 0 , 1 , 2 , 3S y y y y? ? ?? ?? ?, 1 , 2 ,x y x y??⒂ 在下圖中 , 實(shí)點(diǎn)表示為狀態(tài)容許的集合 . xyO 1 2 3123 過(guò)河的方案稱為決策 , 仍然用向量 ? ?,xy 來(lái)表示 . 小船從此岸到彼岸的一次航行 , 會(huì)使此岸的狀態(tài)發(fā)生一 次變化 , 這樣的變化稱為狀態(tài)的 轉(zhuǎn)移 . 用 ? ? ? ? ? ?1 2 3, , , , , ,s x y s x y s x y表示狀態(tài)的轉(zhuǎn)移 . 其中 .isS?以 表示在狀態(tài) ? ?,i i id x y下做出的決策 . 相應(yīng)關(guān)系為 ? ?,i i is x y? ?1 i is s d? ? ? ? ⒃ 上式稱為 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程 . 由此說(shuō)明 , 渡河問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閷ふ乙幌盗械臎Q策 ,id使?fàn)顟B(tài) 按⒃經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移從 ? ?,i i is x y ? ?1 3,3s到達(dá) ? ?0 , 0 .ns 解模 下圖中實(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)移即為相應(yīng)的渡河方案 . 圖中紅色曲線弧表示向彼岸的渡河 , 而綠色曲線弧表示 從彼岸的返回 . xyO 1 2 3123 ? ?1 3,3s? ?12 0,0s12 6 11 5 10 4 9 3 8 2 7 1 決策 狀態(tài) 序號(hào) 決策 狀態(tài) 序號(hào) ? ?3,3 ? ?0,2? ?0,1? ?3,2? ?3,1? ?0,2? ?3,0 ? ?0,1? ?3,1 ? ?2,0? ?1,1 ? ?1,1? ?2,2 ? ?2,0? ?0,2 ? ?0,1? ?0,3 ? ?0,2? ?0,1 ? ?0,1? ?0,2 ? ?0,2? ?0,0 問(wèn)題 一家五口人帶著五只狗（家中每個(gè)成員各自擁有一只狗） 去郊游 . 途中遇到一條河 , 他們租用了一艘小船 , 小船每 次可載三個(gè)生物（人和狗） . 可惜這五只狗性情古怪 , 它 必須和自己的主人在一起才會(huì)安分 . 如果他的主人不在場(chǎng) , 它絕對(duì)不能和其他人在一起（即使一會(huì)也不行） . 當(dāng)然 , 狗 是可以和其他的狗在一起的 , 幸好麗莎的狗曾上過(guò)特技訓(xùn) 練學(xué)校也會(huì)劃船 , 另外四只卻都不會(huì) . 請(qǐng)問(wèn)怎樣渡河？需要幾趟？ 四、公平的席位問(wèn)題 從若干個(gè)群眾團(tuán)體中 , 選舉出部分代表組成一個(gè)管理委 員會(huì) , 如何確定各團(tuán)體的代表成員數(shù) , 這樣的問(wèn)題就稱為 席位分配問(wèn)題 . 我們以下面這個(gè)生活中常遇到的問(wèn)題來(lái)說(shuō)明席位分配問(wèn) 題的具體意義 . 某個(gè)居住小區(qū)分成 A, B, C, D四個(gè)小區(qū)， A小區(qū)有住戶 180戶 , B小區(qū)有 150戶 , C小區(qū)有 132戶 , D小區(qū)有 108戶 . 在 該居住區(qū)內(nèi) , 要成立一個(gè)由 11人組成的業(yè)主委員會(huì) , 該如 何確定相應(yīng)的名額分配方案 . 一個(gè)比較好的分配方案是 : A 3 B 3 C 3 D 2 直覺(jué)？ 這樣的分配方案可能基于下面的計(jì)算結(jié)果 : A區(qū) 1801 1 3 . 4 7 3 ,570??B區(qū) 150