【正文】 ． 由①可得 36n n n na a a a??? ? ?， *n N? ． 所以對(duì)任意的 *n N? ， na 是 3na? 與 6na? 的等差中項(xiàng)． （泰州市高三第一次模擬考試） 10 ．?dāng)?shù)列 ??na 為正項(xiàng)等比數(shù)列，若 12?a ，且11 6 ?? ?? nnn aaa ? ?2, ?? nNn ，則此數(shù)列的前 4 項(xiàng)和 ?4S 215 。 (江蘇省宿遷中學(xué) 2022 屆高三上學(xué)期 13．設(shè) 1 2a? ， 12 1nna a? ? ? ，2 11nnnab a ????， *nN? ，則 2022b = 202221? . (江蘇省宿遷中學(xué) 2022屆高三上學(xué)期 20．（本小題滿分 16 分） 已知等差數(shù)列 ??na 的首項(xiàng)為 a ，公差為 b ，等比數(shù)列 ??nb 的首項(xiàng)為 b ，公比為 a (其中 ,ab均為正整數(shù) )． (Ⅰ ) 若 1 1 2 2,a b a b??，求數(shù)列 ??na 、 ??nb 的通項(xiàng)公式； (Ⅱ )在 (Ⅰ )的條件下，若 1213, , , kn n na a a a a， ， ， 12( 3 )kn n n? ? ? ? ?成等比數(shù)列，求數(shù)列 ??kn 的通項(xiàng)公式； (Ⅲ ) 若 1 1 2 2 3a b a b a? ? ? ?，且至少存在三個(gè)不同的 b 值使得等式 ? ?mna t b t N? ? ? 成立，試求 a 、 b的值． 20．解：（Ⅰ）由 1 1 2 2,a b a b??得：aba b ab??? ???， 解得： 0ab?? 或 2ab?? ， ,a b N?? ， 2ab? ? ? ，從而 2 , 2nnna n b??????????????? 5分 (Ⅱ )由 (Ⅰ )得 132, 6aa??， ? 1213, , , kn n na a a a a， ， ，構(gòu)成以 2 為首項(xiàng)， 3 為公比的等比數(shù)列，即：123k kna ??? ????????????????????? 7分 又 2knkan? ，故 12 2 3kkn ??? ， 13kkn ??? ???????????????? 10分 (Ⅲ ) 由 1 1 2 2 3a b a b a? ? ? ?得： 2b a b ab a b? ? ? ? ? ?， 由 a b ab?? 得： ? ?1a b b??；由 2ab a b?? 得： ? ?12a b b?? ， 而 *,a b N a b??，即： 1ba??，從而得： 1 2 21 1 2 41 1 1 1bbab b b b? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?， 2,3a?? ，當(dāng) 3a? 時(shí)， 2b? 不合題意，故舍去， 所以滿足條件的 2a? . ????????????????????????? 12 分 又 2 ( 1)ma b m? ? ?， 12nnbb??? ，故 ? ? 12 1 2nb m t b?? ? ? ? ?，即： ? ?12 1 2n m b t?? ? ? ? ①若 12 1 0n m? ? ? ? ，則 2tN?? ? ，不合題意；????????????? 14分 ②若 12 1 0n m? ? ? ? ，則 1221n tb m? ?? ??，由于 121n m? ??可取到一切整數(shù)值，且 3b? ，故要至少存在三個(gè) b 使得 ? ?mna t b t N? ? ? 成立，必須整數(shù) 2t? 至少有三個(gè)大于或等于 3 的不等的因數(shù)，故滿足條件的最小整數(shù)為 12，所以 t 的最小值為 10，此時(shí) 3b? 或 4 或 12 ????? 16分 (宿州市省示范高中 12 月聯(lián)考試題 )8．?dāng)?shù)列 { na }滿足 21?a ,111 ???? nn aa,則 2022a 等于( C ) A． 2 B． 13? C． 32? D． 1 (宿州市省示范高中 12 月聯(lián)考試題 )10．已知正項(xiàng)等比數(shù)列 }{na 滿足 567 2aaa ?? ，若存在兩項(xiàng)nmaa, 使得 14aaa nm ? ，則 nm 41? 的最小值為（ A ） A． 23 B． 35 C． 625 D． 2 (宿州市省示范高中 12月聯(lián)考試題 )18．（本小題滿分 12分） 已知數(shù)列 }{na 的前 n項(xiàng)和為 nS ，點(diǎn) ))(,( *NnSnP nn ? 均在函數(shù) xxxf 7)( 2 ??? 的圖象上。 （泰州市高三第一次模擬考試） 19．（本小題滿分 16 分） 已知在直角坐標(biāo)系中， ? ? ? ?? ??? NnbBaA nnnn ,0,0, ，其中數(shù)列 ? ?? ?nn ba , 都是遞增數(shù)列。 n2 (n∈ N+). （通州高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期期中試卷 14．對(duì)于數(shù)列 ??na ,定義數(shù)列 }{mb 如下： 對(duì)于正整數(shù) m ， mb 是使得不等式 nam? 成立的所有 n 中的最小值． （Ⅰ）設(shè) ??na 是單調(diào)遞增數(shù)列 ,若 3 4a? ，則 4b? ___ 4 3b? ， （ Ⅱ ） 若 數(shù) 列 ??na 的 通 項(xiàng) 公 式 為 *2 1,na n n N? ? ? ， 則 數(shù) 列 ??mb 的 通 項(xiàng) 是__??????????是偶數(shù)是奇數(shù)mmmmb m,2 2,2 1______ ．（ 也 可 以 寫(xiě) 成 ：????????????)(2,1)(12,**NkkmkNkkmkbm或( 1 ) 3 ()24mm mb n Z??? ? ? ） . （通州高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期期中試卷 19. （本小題共 16 分） 已知數(shù)列 {}na 滿足：1 2 3 , ( 1 , 2 , 3 , )nna a a a n a n? ? ? ? ? ? ? （ I）求 1 2 3,a a a 的值； （Ⅱ）求證：數(shù)列 { 1}na? 是等比數(shù)列； （Ⅲ）令 (2 )( 1)nnb n a? ? ?（ 1,2,3...n? ），如果對(duì)任意 *nN? ，都有 214nb t t??， 求實(shí)數(shù) t 的取值范圍 . 19. 解：（ I）1 2 31 3 7,2 4 8a a a? ? ? ????????????? ..3分 （ II）由題可知： 1 2 3 1n n na a a a a n a?? ? ? ? ? ? ? ① 1 2 3 1 11n n na a a a a n a??? ? ? ? ? ? ? ? ② ② ①可得 121nnaa? ?? ?????????? ..5分 即：1 11 ( 1)2nnaa? ? ? ?，又1 11 2a ? ??????????????? ..7分 所以數(shù)列 { 1}na? 是以 12? 為首項(xiàng)，以 12 為公比的等比數(shù)列??????? ..? ..8分 （Ⅲ）由 (2)可得 11 ( )2 nna ??， ??????????????? ...9分 22n nnb ?? ??????????????? ...10 分 由1 1 1 11 2 2 1 2 ( 2 ) 3 02 2 2 2nn n n n nn n n n nbb? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?可得 3n? 由 1 0nnbb? ??可得 3n? ??????????????? ....11 分 所以 1 2 3 4 5 nb b b b b b? ? ? ? ? ? ? 故 nb 有最大值3418bb?? 所以，對(duì)任意 *nN? ，有 18nb? ??????????????? ....13分 如果對(duì)任意 *nN? ，都有 214nb t t??，即 2 14nb t t??成立， 則 2max 1() 4nb t t??，故有： 21184tt??， ??????????????? ....15分 解得 12t?或 14t?? 所以，實(shí)數(shù) t 的取值范圍是 11( , ] [42?? ? ? ?， ） ???????????? 16 分 （銅山縣鄭集中學(xué)高三階段測(cè)試） 已知等差數(shù)列 ??na 的首項(xiàng) 1a 及公差 d都是整數(shù)，前 n項(xiàng)的和為()nS n N?? ， 若 1 4 31, 3, 9a a S? ? ?，則通項(xiàng)公式 na ＝ ▲ ． n＋ 1 （銅山縣鄭集中學(xué)高三階段測(cè)試） 1已知數(shù)列 {}na 滿足： *1 2 2 11 , ( ) , | |n n na a x x N a a a??? ? ? ? ?，若前 2022 項(xiàng)中 恰好含有 666 項(xiàng)為 0 ，則 x 的值為 ▲ . 8 或 9 （銅山縣鄭集中學(xué)高三階段測(cè)試） 19（ 16）已知整數(shù)數(shù)列 {}na 滿足： 1 1 2,2aa??，112 1 2 1 ( , 2)n n n na a a a n n??? ? ? ? ? ? ?N. (1)求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式； (2)將數(shù)列 {}na 中的所有項(xiàng)依次按如圖所示的規(guī)律循環(huán)地排成如下三角形數(shù)表： ?? 依次計(jì)算各個(gè)三角形數(shù)表內(nèi)各行中的各數(shù)之和設(shè)由這些和按原來(lái)行的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為 {}nb ，求5 100bb? 的值； (3)令 122nannc ba b ?? ? ? ? (b 為大于等于 3 的正整數(shù) )，問(wèn)數(shù)列 {}nc 中是否存在連續(xù) 三項(xiàng)成等比數(shù)列？若存在，求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 .[來(lái)源 :學(xué) |科 |網(wǎng) ] 1解：（ 1）因?yàn)閿?shù)列 {}na 是整數(shù)列，所以 na 是整數(shù)， 所以 112 1, , 2 1n n n na a a a??? ? ?都是整數(shù)， 又112 1 2 1 ( , 2)n n n na a a a n N n??? ? ? ? ? ? ?，所以 112 n n na a a????. ? 3分 即數(shù)列 {}na 是首項(xiàng)為 1，公差 211d a a? ? ? 的等差數(shù)列， 所以 1 ( 1)na a n d n? ? ? ?. ?? 5分 （ 2）設(shè)每一個(gè)循環(huán)（ 4 行）記為一組，由于每一個(gè)循環(huán)含有 4 行，故 100b 是第 25 個(gè)循環(huán)中第 4 行中各數(shù)之和 . ????? 6分 由循環(huán)分組規(guī)律知，每個(gè)循環(huán)共有 10 項(xiàng)，故第 25個(gè)循環(huán)中的第 4行內(nèi)的 4個(gè)數(shù)分別為數(shù)列 {}na 的第 247項(xiàng)至第 250項(xiàng)，又 nan? ，所以 100 247 248 249 250 994b ? ? ? ? ?.? 8分 又 5 11 11ba??，所以 5 100 11 994 100 5bb? ? ? ?. ????? 10 分 [來(lái)源 :] （ 3）因?yàn)?1 12 2 2 2na nnnc ba b bn b? ?? ? ? ? ? ? ? ?， 設(shè)數(shù)列 {}nc 中， 12,n n nc c c??成等比數(shù)列，即211n n nc c c???? ，所以 2 1 1( 2 2 ) ( 2 2 ) ( 2 2 2 )n n nnb b b nb b nb b b??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 化簡(jiǎn)得 12 ( 2 ) 2nnb n b ?? ? ? ? ?. (* ? 12分 當(dāng) 1n? 時(shí)， 1b? ，等式 (*)成立，而 3b? ，故等式 (*)不成立； 當(dāng) 2n? 時(shí)， 4b? ，等式 (*)成立； 當(dāng) 3n? 時(shí)， 112 ( 2) 2 ( 2) 2 4n n nb n b n b b??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，這與 3b? 矛盾， 第 1行 1a 第 2行 2a 3a 第 3行 4a 5a 6a 第 4行 7a 8a 9a 10a 這時(shí)等式 (*)不成立 . ????? 14 分 綜上所述，當(dāng) 4b? 時(shí)，數(shù)列 {}nc 中不存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列；當(dāng) 4b? 時(shí)，數(shù)列 {}nc 中的第二、三、四項(xiàng)成等比數(shù)列，這三項(xiàng)依次是 18， 30， 50. ????? 16分 （無(wú)錫市數(shù)學(xué)期中考試） 設(shè)等差數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ,若 1 11a?? , 466aa? ?? ,則當(dāng) nS 取最小值時(shí) ,n 等于 _____ 6