【正文】 .................................. 11 六、 精華 ............................................................................................... 12 七、 結(jié)論 ............................................................................................... 16 八、 總結(jié) ............................................................................................... 17 由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識 —— 透析一類搏弈游戲的解答過程 張一飛 2 一、 游戲 ? 游戲 A： ? 甲乙兩人面對若干堆石子，其中每一堆石子的數(shù)目可以任意確定。 ? 局面的加法： (a1, a2, …, a n) + (b1, b2, …, b m) = (a1, a2, …, a n, b1, b2, …, b m)。 ? 若 A 負(fù) B 負(fù)，則 S 負(fù)。 ? 局面 (2, 7)是最簡局面。 1010 + 1010 0000 0011 + 1010 1001 由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識 —— 透析一類搏弈游戲的解答過程 張一飛 8 ? 若局面 S=A+B，則 S=A+B。 ? 00101 a1 10011 a2 10111 a3 + 00001 a4 00000 p=0 00101 a1 00101 a2+a3+a4=a1 + 00000 p=0 x≠ a1 a1 + p≠ 0 11001 a1 01101 ak + 10010 a3 00110 p q 01101 ak + 00110 p 01011 ak+p q 由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識 —— 透析一類搏弈游戲的解答過程 張一飛 10 ? 若 S≠ 0，則先行者必然存在一種取子方法 S→T ，且 T=0。 五、 推廣 ? 游戲 C： ? 甲乙兩人面對若干排石子，其中每一排石子的數(shù)目可以任意確定。 ? 游戲 C 中， f(x) = ?。 ? 設(shè) S=(a1, a2, … , an)， p=S=f(a1)+f(a2)+… +f(an)； ? 因?yàn)?p≠ 0，所以必然存在 k，使得 f(ak)+pf(ak)，不妨設(shè) k=1， f(a1)+p=x； ? 因?yàn)?p=S=f(a1)+(a2, …, a n)，故 (a2, …, a n)=p+f(a1)=x； ? 如果先行者把局面 (a1)變?yōu)榫置?(b1, …, b m)， (b1, …, b m)屬于集合 g(a1)； ? 設(shè)這時的局面為 T，我們有 T=(b1, …, b m)+(a2, …, a n)； ? T=(b1, …, b m)+(a2, …, a n)=(b1, …, b m)+x； ? 如果要使 T=0，相當(dāng)于要找到 (b1, …, b m)，使得 (b1, …, b m)等于 x； ? 如果可以保證 x 屬于集合 g(a1)，則肯定可以找到相應(yīng)的的 (b1, …, b m)； ? 因?yàn)?xf(a1)，所以， x 屬于集合 {0, 1, …, f(a 1)–1}； ? 如果集合 g(a1)包含集合 {0, 1, …, f(a 1)–1}，則 x 一定屬于 g(a1)。 ? 定義函數(shù) f(n)： f(n)=min{G(n)}，即 f(n)等于集合 G(n)中的最小數(shù)。最后，通過與二進(jìn)制數(shù)的對比，又簡化到用一個數(shù)來表示一個局面。我們就由此入手，將一堆石子與一個子局面相類比，并得出了兩個子局面相等時的結(jié)論。這一步叫“ 去偽存真 ”。 由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識 —— 透析一類搏弈游戲的解答過程 張一飛 18 人們認(rèn)識事物的過程，就是由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識的過程。首先，我們用一個 n 元組表示一個局面，這是很直觀很容易想到的。 ? 用符號 S，表示局面 S 所對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)。 ? 在游戲 C 中， g(7)={(5), (1, 4), (2, 3)}。對于任意一個初始局面 S，設(shè) S=(a1, a2, …, a n)，令 S=f(a1)+f(a2)+… +f(an)。 ? 若 S≠ 0，則先行者（甲）有必勝策略；否則后行者（乙）有必勝策略。 ? 1011 + 1011 0000 1011 + 1001 0010 0011 + 1010 1001 1001 + 1010 0011 由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識 —— 透析一類搏弈游戲的解答過程 張一飛 9 ? 二進(jìn)制數(shù) a1+a2+… +an=p≠ 0，則必存在 k，使得 ak+pak。 ? 二進(jìn)制數(shù)的加法 VS 局面的加法 ? 大寫字母 AB 表示局面，小寫字母 ab 表示二進(jìn)制數(shù) ? 若 A 和 B 相同，則 A+B 負(fù)；若 a 和 b 相等，則 a+b 為 0 ? 若 A 勝 B 負(fù)，則 A+B 勝；若 a≠ 0 且 b=0，則 a+b≠ 0 ? 若 B 勝 A 負(fù)，則 A+B 勝；若 b≠ 0 且 a=0，則 a+b≠ 0 ? 若 A 負(fù) B 負(fù)，則 A+B 負(fù)；若 a=0 且 b=0，則 a+b=0 ? 若 A 勝 B 勝，則 A+B 有時勝，有時負(fù) ? 若 a≠ 0 且 b≠ 0，則有時 a+b≠ 0，有時 a+b=0 ? ?? ? 如果用二進(jìn)制數(shù) s 來表示一個局面 S 的勝或負(fù)， S 勝則 s≠ 0， S 負(fù)則 s=0 ? 局面的加法，與二進(jìn)制數(shù)的加法，性質(zhì)完全相同。 ? 局面 (2, 2, 2, 7, 9, 9)可以簡化為 (2, 2, 2, 7)，還可以進(jìn)一步簡化為 (2, 7)。 ? 如果局面 S 負(fù)，則對于任意取子方法 S→T ，有 T 勝。 ? 甲可以一次把這一堆石子全部取完，這樣乙就