【正文】 性質(zhì) 1. 互換行列式中的兩列 , 行列式變號(hào) . 推論 . 若行列式 D 中有兩列完全相同 , 則 D = 0. 性質(zhì) 2. (線性性質(zhì) ) (1) det(?1, …, k?j, …, ?n) = kdet(?1, …, ?j, …, ?n)。 分塊之后 , 各 Aik的列 數(shù)分別等于對(duì)應(yīng)的 Bkj的行 數(shù) (否則乘不起來 ). 乘法 B = B11 … B1t … … … Bs1 … Bst AB = A = A11 … A1s … … … Ar1 … Ars , k = 1 s ?A1kBk1 k = 1 s ?A1kBkt k = 1 s ?ArkBk1 k = 1 s ?ArkBkt … … … … 逆矩陣 轉(zhuǎn)置 行列式 加法 數(shù)乘 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 1 0 1 0 ?1 2 0 1 1 0 4 1 ?1 ?1 2 0 B = , 求 AB. 1 0 0 0 0 1 0 0 ?1 2 1 0 1 1 0 1 例 9. 設(shè) A = , 解 : A = , E O A1 E B = , B11 E B21 B22 其中 E = , 1 0 0 1 ?1 2 1 1 A1= , 1 0 ?1 2 B11= , 1 0 ?1 ?1 B21= , 4 1 2 0 B22= . 于是 AB = E O A1 E B11 E B21 B22 , B11 E A1B11+B21 A1+B22 = 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 于是 AB = E O A1 E B11 E B21 B22 B11 E A1B11+B21 A1+B22 = , 而 A1B11 = ?1 2 1 1 1 0 ?1 2 ?3 4 0 2 = , A1B11 +B21 = ?3 4 0 2 1 0 ?1 ?1 + A1+B22 = ?1 2 1 1 4 1 2 0 + ?2 4 ?1 1 = , 3 3 3 1 = . B11 E A1B11+B21 A1+B22 從而 AB = = . 1 0 1 0 ?1 2 0 1 ?2 4 3 3 ?1 1 3 1 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 矩 陣 的 分 塊 運(yùn) 算 轉(zhuǎn)置 A = A11 … A1t … … … As1 … Ast AT = A11 … A1t A1t … Ast T T T T … … 加法 數(shù)乘 逆矩陣 行列式 乘法 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 矩 陣 的 分 塊 運(yùn) 算 行列式 其中 A, B都是方陣 . 也未必成立 , 例如 A C O B = |A|?|B|, A O C B = |A|?|B|, 但即使 A, B, C, D都是方陣 , A C D B = |A|?|B| ? |C|?|D| 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 = ? 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 = 1. A1 At 分塊對(duì)角矩陣的行列式 = |A1|?… ?|At|. 加法 數(shù)乘 乘法 逆矩陣 轉(zhuǎn)置 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 矩 陣 的 分 塊 運(yùn) 算 逆矩陣 若 A1, …, At都是可逆方陣 A1 At ?1 . = A1 At ?1 ?1 (不必是同階的 ), 則 加法 數(shù)乘 乘法 轉(zhuǎn)置 行列式 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 與初等矩陣 的聯(lián)系 解矩陣方程 求逆矩陣 可逆性 解線性方程組 求 L(?1, …, ?s) 的基和維數(shù) 求矩陣的秩 保矩陣的秩 求合同標(biāo)準(zhǔn)形 求極大無關(guān)組 矩 陣 的 初 等 變 換 求向量組的秩 性 質(zhì) 分 類 初等行變換 初等列變換 線性方程組 的初等變換 來 源 應(yīng) 用 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 矩陣的初等變換 ?2x1?3x2+4x3 = 4 x1+2x2 ?x3 = ?3 2x1+2x2 ?6x3 = ?2 x1+2x2 ?x3 = ?3 ?2x1?3x2+4x3 = 4 x1 + x2?3x3 = ?1 x1+2x2 ?x3 = ?3 x2+2x3 = ?2 ?x2?2x3 = 2 ?2 ?(?1) x1+2x2 ?x3 = ?3 x2+2x3 = ? 2 0 = 0 ?1/2 ?1 ?2 ?3 4 4 1 2 ?1 ?3 2 2 ?6 ?2 輕裝上陣 1 2 ?1 ?3 ?2 ?3 4 4 1 1 ?3 ?1 ?1/2 1 2 ?1 ?3 0 1 2 ?2 0 ?1 ?2 2 ?2 ?(?1) 1 2 ?1 ?3 0 1 2 ?2 0 0 0 0 ?1 增廣矩陣的 初等變換 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 0 1 0 1 0 0 0 0 1 a b c x y z 1 2 3 , = x y z a b c 1 2 3 0 1 0 1 0 0 0 0 1 a x 1 b y 2 c z 3 , = x a 1 y b 2 z c 3 1 k 0 0 1 0 0 0 1 a b c x y z 1 2 3 , = a+kx b+ky c+kz x y z 1 2 3 1 k 0 0 1 0 0 0 1 a x 1 b y 2 c z 3 . = a ak+x 1 b bk+y 2 c ck+z 3 1 0 0 0 1 0 0 0 k a b c x y z 1 2 3 , = a b c x y z k 2k 3k 1 0 0 0 1 0 0 0 k a x 1 b y 2 c z 3 , = a x k b y 2k c z 3k 對(duì)矩陣 A進(jìn)行一次初等 行 (列 )變換相當(dāng)于在 A的左 (右 )邊乘以相應(yīng)的初等矩陣 . 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 矩陣的秩 最高階非零子式的階數(shù) 行向量組的秩 列向量組的秩 r(A) = r(AT) A與 B等價(jià) ?r(A) = r(B) P與 Q可逆 ?r(A)=r(PAQ) max{r(A), r(B)} ? r(A, B) ? r(A)+r(B) A與 B相似 ?r(A) = r(B) A與 B合同 ?r(A) = r(B) r(A+B) ? r(A) + r(B) r(AB) ? min{r(A), r(B)} 不 等 式 等 式 行空間的維數(shù) 列空間的維數(shù) 定 義 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 例 A = 3 2 0 5 0 3 ?2 3 6 ?1 2 0 1 5 ?3 1 6 ?4 ?1 4 , 求 A的秩 , 并找出 A的一個(gè)最高階非零子式 . 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 1 6 ?4 ?1 4 0 ?4 3 1 ?1 0 0 0 4 ?1 0 0 0 0 0 = B. 解 : A = 3 2 0 5 0 3 ?2 3 6 ?1 2 0 1 5 ?3 1 6 ?4 ?1 4 可見秩 (A) = 3. B的第 1, 2, 4列 (是由 A的第 1, 2, 4列變來的 )中有一個(gè) 3階非零子式 . 初等 行 變換 因而 A的第 1, 2, 4列中必然有一個(gè) 3階非零子式 . 不難找到 3 2 5 3 ?2 6 2 0 5 = ?16, 這個(gè)子式就是 A的一個(gè)最高階非零子式 . 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 特 征 值 和 特 征 向 量 |?E–A| = |?E–(P?1AP)| ??i = tr(A), ??i = |A| A可逆 ?A的 特征值 全不為零 , 此時(shí) A? =?? ?A?1? =??1? |?E–A| = |?E–AT| A? =?? ?f(A)? =f(?)? 對(duì)應(yīng)于不同特征值的 特征向量線性無關(guān) AT=A???R且 對(duì)應(yīng)于不同特征值 的特征向量正交 性 質(zhì) 應(yīng) 用 計(jì) 算 定 義 相似對(duì)角化 用 A=P?1?P 計(jì)算 Ak 化二次型為 標(biāo)準(zhǔn)形 |?E–A| = 0 (?E–A)x = 0 A? = ?? 其中 ? ? ? 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 例 11. 求 A = 的特征值和特征向量 . 解 : 所以 A的特征值為 ?1=2, ?2=4. 解之得 A的對(duì)應(yīng)于 ?1=2的特征向量為 對(duì)于 ?1=2, (2E–A)x = 0 即 3 ?1 ?1 3 |?E–A| = ?–3 1 1 ?–3 = (?–2)(?–4). ?x1 + x2 = 0 x1 ? x2 = 0 x1 x2 = k 1 1 (0 ? k ? R). k k (0?k?R). 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)