【正文】 dxf x x?0π ( π ) [ sin( π ) ] dt f t t? ? ? ??π0 ( π ) ( sin ) d ,t f t t???π20 ( c os ) df t t? ? 微積分基本定理 (79) 38 π0π ( s in ) df t t? ?π0 ( sin ) dtf t t? ?π0π ( s in ) df x x? ?π0 ( s in ) d ,x f x x? ?π π00π( s in ) d ( s in ) d .2x f x x f x x????π0 ( sin ) dxf x x? 微積分基本定理 (79) 39 例 14 計算定積分 π20s i n d1 c o sxx xx??. 解 π20s i n d1 c o sxx xx??π20π s in d2 1 c o sx xx? ??π20π d( c o s )2 1 c o sxx?? ?? ? ?π0π a r c t a n ( c o s )2 x??2π.4?π π π()2 4 4? ? ? ?根據(jù) 引理 2 ， 定積分 微積分基本定理 (79) 40 幾個特殊積分、定積分的幾個等式 . 定積分的換元法 : ( )dba f x x? [ ( ) ] ( ) df t t t?? ?? ?? ? 小結與思考題 3 微積分基本定理 (79) 41 思考題 指出求222d1xxx?? ??的解法中的錯誤， 并寫出正確的解法 . 解 令 ,s e c tx ? ,4332: ???t d t an se c d ,x t t t?222d1xxx?? ??3423ππs e c t a n ds e c t a nt t ttt????3423πππd.12t??? 微積分基本定理 (79) 42 思考題解答 計算中第二步是錯誤的 . tx se c??,43,32 ?????? ???t ,0tan ?t .t ant an12 ttx ???正確解法是 222d1xxx?? ??tx s e c?3423ππs e c t a n ds e c t a nt t ttt???3423πππd.12t? ? ? ?? 微積分基本定理 (79) 43 一、 填空題： 1 、ππ3πc o s ( ) d3xx ???_____ ； 2 、 π30( 1 sin ) d?????_ ____ ； 3 、 1 22122( a r c c o s )d1xxx????_ ___ ； 4 、325425s in d21x x xxx?????_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 課堂練習題 二、 計算下列定積分： 1 、 π 32π2c o s c o s dx x x??? ； 2 、 1 2 2 3 21( 1 1 ) dx x x x x?? ? ??； 3 、2 30ma x { , } dx x x?； 4 、 20dx x x???（ 為參數(shù)? ） . 微積分基本定理 (79) 44 三 、證明： 0( ) d [ ( ) ( ) ] daaaf x x f x f x x?? ? ???, 并求 π4π4d1 s inxx? ??. 四 、設 ()fx 在 [ , ]ab 上連續(xù)， 證明 π2 π2001( c o s ) d ( c o s ) d4f x x f x x???. 微積分基本定理 (79) 45 課堂練習題答案 一、 1 、23 ； 2 、 4π3?； 3 、 32 π( 1 )3 2 7?； 4 、 0 . 二、 1 、34； 2 、 π8； 3 、417 ； 4 、 時當 0?? , ?238? ；當 20 ?? ? 時 , 32383?? ?? ； 當 2?? 時 , ?238?? . 三、 2 . 微積分基本定理 (79) 46 設函數(shù) )( xu 、 )( xv 在區(qū)間 ? ?ba , 上具有連續(xù)導數(shù)，則有? ?ddbbbaa au v uv v u????. 定積分的分部積分公式 推導 ? ? ,vuvuuv ????? ? ?( ) d ,bba auv x uv? ??? ? d d ,bbba aauv u v x uv x??????? ?d d .bbbaa au v uv v u? ? ???分部積分法 微積分基本定理 (79) 47 例 15 計算定積分 120 ar c sin d .xx?解 令 ,ar c s i n xu ? d d ,vx?2dd,1xux??,xv ?120a r c sin dxx? ? ?210a r c si n xx?1220d1xxx???621 ???12 22011 d ( 1 )2 1 xx????π12? ? ?21021 x?? π 3 1.1 2 2? ? ?則 微積分基本定理 (79) 48 例 16 計算定積分 解 π40d .1 c o s 2xxx??,c o s22c o s1 2 xx ???π40d1 c o s 2xxx? ??π420d2 c o sxxx? ? ? ?π40d t a n2x x? ?? ? π401 t a n2 xx? π401 t a n d2 xx? ?? ? π40π 1 ln s e c82 x?? π ln 2 .84?? 微積分基本定理 (79) 49 例 17 計算定積分 解 120ln ( 1 ) d.( 2 )x xx???120ln( 1 ) d( 2 )x xx???101ln ( 1 ) d2x x? ? ? ??102)1l n (??????????xx101 d ln( 1 )2 xx????32ln??1011 d21 xxx?????xx ??? 2111? ? 10)2l n ()1l n (3 2ln xx ?????? .3ln2ln35 ?? 微積分基本定理 (79) 50 解 因為 t ts i n 沒有初等形式的原函數(shù)，無法直接 10 ( ) dx f x x?1 201 ( ) d( )2 f x x? ?1201 ()2 x f x??? ??1 201 d ( )2 x f x? ?)1(21 f? 1201 ( ) d .2 x f x x?? ?例 1 8 設 21s in( ) dx tf x tt? ?，求 10( ) dx f x x?求出 )( xf ，所以采用分部積分法 ： 微積分基本定理 (79) 51 21s in( ) d ,x tf x tt? ?,s i n22s i n)(222xxxxxxf ????10 ( ) dxf x x? ?)1(21 f? 1201 ( ) d2 x f x x?? ?1 201 2 s in d