【正文】 試驗(yàn)次數(shù)愈多 ,偏差發(fā)生的可能性愈小 。 解 ： 假設(shè)隨機(jī)變量 ),2,1( ??ii? 在 [0,1]上有均勻分 布 ,而且相互獨(dú)立 ,有 31,21 2 ?? ii ED ?? 易見(jiàn) ? ??????? ??????? ? 2),( 22221211 nPGPdxdx nnnG nn ?????? ???? ?????? ??????????? ???? 61)(121)(1 22222122221 inn EnPnP ??????? ?? ?????? ??? ?? 611 21 2 ini i EnP ?? 由 n??? , 21 ? 獨(dú)立同分布 ,可見(jiàn) 22221 , n??? ? 獨(dú)立同分布 。 林德伯格定理可以解釋如下：假如被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和 ,其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小的作用 ,則可以認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量實(shí)際上是服從正態(tài)分布的 。 若 21 kk＜ 均為整數(shù) ,一般先作如下修正后再用正態(tài)近似 )()( 121 ????? kkPkkP nn ＜＜ ?? 。 例 8： 某調(diào)查公司受委托 ,調(diào)查某電視節(jié)目在 S 市的收視率 p ,調(diào)查公司將所有調(diào)查對(duì)象中收看此節(jié)目的頻率作為 p 的估計(jì) ?p 。 又因?yàn)? )1001()( 99 199 199 1 ???? ??? ??? ii ii i ipXE, )100)(1001()( 99 199 1299 ???? ?? ?? ii i iiXDB 所以該學(xué)生通過(guò)考試的可能性為 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 15 ???????????????????????? ? ?? ?? 60991991iiiiXPXP )(1 ???? 由此看出：此學(xué)生通過(guò)考試的可能性很小 ,大約只有千分之五 。 總之這兩大 定理的正確應(yīng)用有助于進(jìn)一步研究多個(gè)隨機(jī)過(guò)程的試驗(yàn)中目標(biāo)事件及其條件下各誘發(fā)事件的概率 ,有助于把握隨機(jī)事件間的相互影響關(guān)系 ,為生產(chǎn)實(shí)踐提供更有價(jià)值的決策信息 ,成為我們解決問(wèn)題的有效工具 。 [6]張從軍 ， 劉亦農(nóng) ， 肖麗華 編著 ． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) [M],復(fù)旦大學(xué)出版社 ,2021： 110120。 [2]茆詩(shī)松 ,程依明等編著 ． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程 [M]． 高等教育出版社 ,2021： 133154。 本次畢業(yè)論文的撰寫 ,使我擴(kuò)大了知識(shí)范圍 ,鍛煉了觀察和思維能力 ,進(jìn)一步提高了動(dòng)手和實(shí)踐能力 。 試計(jì)算該學(xué)生通過(guò)考試的可能性多大？ 解：設(shè)若學(xué) 生答對(duì)第 i 題 ,則 1?iX ；若學(xué)生答錯(cuò)第 i 題 ,則 0?iX 。 問(wèn)至少要多少電能 ,才可以有95％的可能性保證此車間正常生產(chǎn) 。 棣莫弗 拉普拉斯定理是概率論歷史上的第一個(gè)中心極限定理 ,它是專門針對(duì)二項(xiàng)分布的 ,因此稱為“二項(xiàng)分布的正態(tài)近似” 。 在實(shí)際應(yīng)用中 ,有很多隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布 ,即使原來(lái)并不服從正態(tài)分布的一些獨(dú)立的隨機(jī)變量 ,它們的和 分布也近似服從正態(tài)分布 ,自然要提出這樣的問(wèn)題：為什么正態(tài)分布如此廣泛地存在 ,從而在概率論中占有如此重要的地位？應(yīng)如何解釋大量隨機(jī)現(xiàn)象的這一客觀規(guī)律性呢？事實(shí)上 ,這正是客觀實(shí)際的反映 ,中心極限定理就是 概率論中論證隨機(jī)變量和的極限分布為正態(tài)分布的定理總稱 。 反之 ,用概率方法來(lái)解決數(shù)學(xué)分析中的一些問(wèn)題 ,也是概率論的重要研究方向之一 [3]。 若把這枚硬幣連拋 10 次 ,則因?yàn)?n 較小 ,發(fā)生大偏差的可能性有時(shí)會(huì)大一些 ,有時(shí)會(huì)小一些 。 （ 4）它是推導(dǎo)大數(shù)定律和其他定理的依據(jù) 。 本文共分 3章 ,每章結(jié)合具體問(wèn)題展開(kāi)討論 ,內(nèi)容涉及對(duì)基本公式概念的理解 ,對(duì)基礎(chǔ)理論知識(shí)的剖析 ,定理的具體應(yīng)用 ,結(jié)合實(shí)際 ,分析解答了有關(guān)的典型例題 。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科 ,起源于 17世紀(jì) ,發(fā)展到現(xiàn)在 ,已經(jīng)深入到科學(xué)和社會(huì)的許多領(lǐng)域 。 切比雪夫（ Chebyshev）不等式的應(yīng)用 ： （ 1）已知期望和方差 ,我們就可以利用切比雪夫不等式估計(jì)在期望的 ? 鄰域的概率 。 伯努利大數(shù)定律提供了用頻率來(lái)確定概率的理論依據(jù) 。 事實(shí)上 ,用觀察值的平均去作為隨機(jī)變量的均值在實(shí)際生活中是常用的方法 。 2 中心極限定理的應(yīng)用 前言 大數(shù)定律 討論的 是多個(gè)隨機(jī)變量的平均 ??ni iXn 11 的漸近性質(zhì) ,但沒(méi)有涉及到隨機(jī)變量的分布的問(wèn)題 。 定理的應(yīng)用：對(duì)于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列 ? ?nX ,不管 ),2,1( niX i ?? 服從什么分布 ,只要他們是分布 ,且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差 ,那么 ,當(dāng) n 充分大時(shí) ,這些隨機(jī)變量之和 ??ni iX1近似地服從正態(tài) 分布 ),( 2?? nnN 。 解：記 n =100, nY 為 100 個(gè)部件中正常工作的部件數(shù) ,則 nY ～ b(100,)； 90)( ?nYE ； 9)1()( ??? pnpYD n 所求概率為 )()3 (1)3 (1)85( ?????????????nYP ② 已知 ?,n ， 求 y 。 李雅普諾夫中心極限定理及其在具體分布方面的應(yīng)用 設(shè) ? ?nX 為獨(dú)立隨即變量序列 ,若存在 0＞? ,滿足 0)(1l i m122 ????????ni IInn XEB?? ?, 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 14 則對(duì)任意的 x ,有 dtxXBPni iinn ?? ???? ??????? ?? x 2t12e21)(1l i m π? 其中 iiXE ??)( , 2)( ??IXD , 22221)( nin XDB ??? ????? ? 例 10：一份考卷由 99個(gè)題目組成 ,并按由易到難順序排列 。 本文詳細(xì)介紹了大數(shù)定律和中心極限定理 及其 在生活各方面的應(yīng)用 。 感謝我的室友，同窗好友， 整個(gè)畢業(yè)論文的寫作期間和我密切合作的同學(xué)，和曾經(jīng)在各個(gè)方面給予我?guī)椭幕锇閭?，友誼情深，勿需多言。 [9]陳萍 ,李文等編 ． 概率與統(tǒng)計(jì) [M]． 科學(xué)出版社 ， 2021： 99115。 感謝我的導(dǎo) 師， 仝偉 老師 。 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 16 從本例看出：用切比雪夫不等式只能得出來(lái)要求的概率不小于 ,而用中心極限 定理可得出要求的概率近似等于 。 則 iX 獨(dú)立同分布 ,且 P ( iX =1)=p ,P ( iX =0)= p?1 , ni ,2,1 ?? 又記 n 個(gè)被調(diào)查對(duì)象中 ,收看此電視節(jié)目的人數(shù)為 nY ,則有 ),(~1 pnbXY ni in ??? 。 以下我們就分這三類情況給出一些具體的例子。 所以 ,實(shí)際觀測(cè)的到的誤差可以看作是一個(gè)隨機(jī)變量 ,它是很多數(shù)值微小的獨(dú)立隨機(jī)變量的總和 ,按林德伯格定理 ,這個(gè)隨機(jī)變量應(yīng)該服從 正態(tài) 分布 。 從概率的統(tǒng)計(jì)定義中可以看出：一個(gè)事件發(fā)生的概率具有穩(wěn)定性 ， 即隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多 ， 事件的頻率逐漸穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)附近 。 伯努利大數(shù)定律仍然是辛欽大數(shù)定律的特例 。 如果 0＞?? ,恒有 1)(lim 22 ???? ?? ＜nn SP,則 n充分大時(shí) 2nS 就可以看作是 2? 的近似值 。 如果有大量的事例可供考察研究 ， 則這些未知的、不確定的力量將有趨于平衡的自然傾向 ， 那些在個(gè)別事例中存在的隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)將在大數(shù)中消失 ， 這種結(jié)論就是概率論中的大數(shù)定律 。 學(xué)號(hào) ： 學(xué)號(hào) ： 08802053 大數(shù)定律和中心極限定理的應(yīng)用 分 院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 專 業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 班 級(jí) 信計(jì)本 0801 姓 名 李耀 指 導(dǎo) 教 師 仝偉 2021 年 5 月 10 日 商丘學(xué)院 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） I 摘 要 大數(shù)定律和 中心極限定理是概率論中很重要的定理，也是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)聯(lián)系的關(guān)鍵所在 ， 更是生活中不可缺少的一部分。 如果各種條件都能預(yù)知 ,則事物發(fā)生的結(jié)果 也能予以正確地測(cè)定， 此時(shí)雖然風(fēng)險(xiǎn)事故仍然存在 ， 損失仍然會(huì)發(fā)生 ， 但是 ， 隨機(jī)性將因此消失 。 如果 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 4 儀器 無(wú)系統(tǒng)誤差 ,問(wèn) n 充分大時(shí) ,是否可以用 ?? ??nin aXnS 122 )(1 作為儀器誤差的方差近似值？ 分析：用 2? 表示 儀器 誤差的方差真值 。 以上幾個(gè)大數(shù)定律均假設(shè)隨機(jī)變量序列 ? ?nX 的方差存在 ,以下的辛欽大數(shù)定律去掉了這一假設(shè) ,僅設(shè)每個(gè) iX 的數(shù)學(xué)期望存在 ,但同時(shí)要求 ? ?nX 為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列 。 大數(shù)定律是概率論中的重要內(nèi)容 ,其目的是考察 隨機(jī)序列的穩(wěn)定性 。 這些因素中的每一個(gè)都可能使