【正文】 i HR x f x H x?? ? ???求一次數(shù)不超過 的多項(xiàng)式使之滿足如下插值條件并寫出截?cái)嗾`差 的表達(dá)式22323323( ) 3 7 6( ) ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )( 2 ) 3 , 2 .( ) 2 9 1 5 6p x x xH x p x k x x xHkH x x x x? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ? 設(shè)所求多項(xiàng)式為由條件 得 故2: ( ) ( ) ( 1 , 2 , 3 ) ,??解 先 求 滿 足 插 值 條 件的 二 次 多 項(xiàng) 式 得p i f i i( 4 )2:() ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) , ( 1 , 3 )4!fR x x x x??? ? ? ? ?截 斷 誤 差 為實(shí)際問題中還會有其他的插值問題 ,這類問題可用Lagrange插值基函數(shù)的方法解決 .如已知數(shù)據(jù)表 ： x 0 1 y y0 y1 y′ y 0′ 求過 0,1兩點(diǎn)構(gòu)造一個插值多項(xiàng)式 p(x),滿足條件 p(0)= y0 , p′ (0)= y0′ , p(1)= y1 解 : 他有三個條件 ,故 p(x)可設(shè)為二次多項(xiàng)式 p(x)= y0 L0(x)+ y1 L1(x) + y0′ h0(x) 這里 L0(x), L1(x), h0(x)都是二次多項(xiàng)式 ,由插值條件得 對 x=x0=0有 L0(0)=1 L1(0)=0 h0(0)=0 L0′ (0)=0 L1′ (0)=0 h0′ (0)=1 對 x=x1=1有 L0(1)=0 L1(1)=1 h0(1)=0 由條件 L0(0)=1 , L0′(0)=0 , L0(1)=0 ,可設(shè) L0(x)=(ax+b)(x1) 利用 L0(0)=1 , L0′(0)=0, 得 b=a=1. 所以 : L0(x)=(x1)(x1)=1x2 同理可得 L1(x)=x2 h0(x)=x(1x) 所以 p(x)= y0(1x2 )+ y1 x2+ y0′(1x)x y(3)(?) 其余項(xiàng)表達(dá)式為 R(x)= (1x) x2 3! 分段線性插值 ? Runge（ 龍格）現(xiàn)象 由插值多項(xiàng)式余項(xiàng)公式說明插值節(jié)點(diǎn)越多，一般來說誤 差越小，但這并不是絕對的，因?yàn)橛囗?xiàng)的大小還和函數(shù) f(x) 的高階導(dǎo)數(shù)有關(guān)。 利用 ，還可以進(jìn)一步化簡到 N(p?1)/2 次乘法。i i=0,1,2…… n 且次數(shù)不大于 2n+1的多項(xiàng)式是唯一的。 ()px ()fx ( ) ( ) ( )R x f x p x??()Rx【 定理 2】 設(shè) 在 [a,b]上連續(xù) ， 在 (a,b)內(nèi)存在 ， 節(jié)點(diǎn) ， 是滿足插值條件 ()的插值多項(xiàng)式 ， 則對任何 ， 插值余項(xiàng) ()()nfx ( 1) ()nfx?01 na x x x b? ? ? ? ?()px[ , ]x a b?( 1 )01()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !nnfR x f x p x x x x x x xn??? ? ? ? ? ??( , )ab? ?注： ? 通常不能確定 ?x , 而是估計(jì) , ?x?(a,b) 將 作為誤差估計(jì)上限。計(jì) 算 方 法 光信息 插值方法 ? 插值多項(xiàng)式定義 ? 插值多項(xiàng)式的存在唯一性 ? 插值余項(xiàng) ? 基函數(shù)構(gòu)造拉氏插值多項(xiàng)式 ? 計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn) ? 分段線性插值 ? 其它插值方法介紹 引例及問題綜述 ? 引例 1 血藥濃度問題 為試驗(yàn)?zāi)撤N新藥的療效，醫(yī)生對某人用快速靜脈注射方 式一次注入該藥 300mg后，在一定時間 t(h)采取血樣，測 得血藥濃度 C數(shù)據(jù)如下 試確定血藥濃度 C與時間 t的函數(shù)關(guān)系。 1)1( )( ?? ? nn Mxf??? ?? niin xxnM01 ||)!1(?當(dāng) f(x) 為任一個次數(shù) ? n 的 多項(xiàng)式 時， , 可知 ，即插值多項(xiàng)式對于次數(shù) ? n 的 多項(xiàng)式是 精確 的。 定理二 :f(x)在區(qū)間 [a,b]存在 2n+2階導(dǎo)數(shù) ,則其 Hermite插值余項(xiàng)為 : ),()!22( )]()[()()()(2