【正文】 IMSS測(cè)試給我們的啟示 案例描述： 關(guān)于估算的評(píng)價(jià)問(wèn)題，也是廣大一線(xiàn)教師十分關(guān)注的問(wèn)題。 【案例 1】 “尷尬”的估算 案例描述： 學(xué)生已經(jīng)有了一定的估算基礎(chǔ)，在具體情境中讓學(xué)生用估算解決問(wèn)題時(shí)，出現(xiàn)了以下三種情境。更進(jìn)一步，我們還需要幫助教師思考：如何科學(xué)地培養(yǎng)小學(xué)生的運(yùn)算技能，如何合理地評(píng)價(jià)他們的運(yùn)算技能；除了運(yùn)算技能，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的重要內(nèi)容還有什么，“數(shù)與代數(shù)”的核心目標(biāo)有哪些等更加深刻的問(wèn)題。但由于理論研究的缺乏、課程設(shè)計(jì)及實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)不足，教師們?cè)诠浪憬虒W(xué)和評(píng)價(jià)中遇到了許多困惑，本專(zhuān)題我們就一起對(duì)估算的價(jià)值和估算能力的培養(yǎng)進(jìn)行討論，希望能引起老師們一些思考。 （ 3）最后解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：一班學(xué)生 238 人，二班學(xué)生 158 個(gè)學(xué)生， 399 個(gè)座位夠嗎？ 學(xué)生分 6個(gè)小組進(jìn)行討論后，有 5個(gè)小組用了前面所強(qiáng)調(diào)的“既湊整算得快，又與實(shí)際結(jié)果相差得盡可能小”的思路，將 238 估計(jì)為 240， 158 估計(jì)為 160， 240+160=400，所以399 個(gè)座位不夠；有 1 個(gè)小組進(jìn)行了精確計(jì)算，發(fā)現(xiàn) 399個(gè)座位夠?；卮甬?dāng)然是“不”！關(guān)鍵是我們需要對(duì) 基本運(yùn)算技能的標(biāo)準(zhǔn)以及運(yùn)算技能培養(yǎng)的科學(xué)化進(jìn)行深入分析。 ⑶關(guān)于算法和算理教師頭腦一定要清楚，老師應(yīng)該把重點(diǎn)放在算理上，不應(yīng)該在具體方法上浪費(fèi)這么多時(shí)間。 根據(jù)這個(gè)原則，我們提出了交錯(cuò)訓(xùn)練，也就是說(shuō)把計(jì)算的練習(xí)量，安排在了平時(shí)的每一天，和我們后面要講的新知識(shí)結(jié)合在一起，比如說(shuō)后面要講應(yīng)用題了，孩子們前面已經(jīng)掌握了算理和算法，后面一節(jié)課我們就可以這樣安排， 30 分鐘的時(shí)間講應(yīng)用題，后面的 10分鐘我們就可以做一、兩道計(jì)算題；一般來(lái)講，在計(jì)算教學(xué)的一段時(shí)間，講完算理和算法以后，每天早晨我們會(huì)做四到六道題的計(jì)算，課堂當(dāng)中可以做一、兩道題，這樣隨著時(shí)間的拉長(zhǎng)，練習(xí)的量會(huì)逐漸地減少，比如說(shuō)在以后就可能是一周練 習(xí)兩到三次，那么一次一兩道題，這樣基本一個(gè)月下來(lái)，錯(cuò)題率就能保證在 2％左右。 【案例 6】 500－ 175＝ ? 課上通過(guò)一個(gè)問(wèn)題情境，引出了 500－ 175＝ ? 學(xué)生一共出現(xiàn)了 5 種方法： 方法①： 500－ 200=300 ， 300＋ 25=325； 方法②：學(xué)生畫(huà)出下面的圖 方 法③： 500=499+1， 499 － 175 324 所以 500175=325。 （ 1）估算在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用 隨著現(xiàn)在科 技的飛速發(fā)展，很多事實(shí)際上不可能也不需要都來(lái)進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算。 總之，作為數(shù)學(xué)教師，我們只有更加深刻地去感受，去領(lǐng)悟估算在我們生活工作中的價(jià)值，我們才能自 覺(jué)地在我們的教學(xué)當(dāng)中，很好地去培養(yǎng)學(xué)生的這種估算的意識(shí)，估算的能力，很好地去發(fā)展學(xué)生在這方面的一些創(chuàng)造能力。服務(wù)員收費(fèi)時(shí)卻報(bào)出了 226 元。但作為飯店的收銀員就需要精確計(jì) 算，估算顯然不行。老師在同學(xué)們估算的同時(shí)悄悄的算出了精確結(jié)果，你們想不想看一看？ 4）公布年級(jí)實(shí)際的總?cè)藬?shù)： 211 人，看到這個(gè)結(jié)果你們有什么新的想法？ 5）學(xué)生 開(kāi)始結(jié)合精確結(jié)果和自己的估算結(jié)果進(jìn)行比較 生 1：我都看成 30，所以就估少了，用中間數(shù)的方法最接近。如湊成一個(gè)整十整百的數(shù)。如低年級(jí)學(xué)生剛剛接觸估算，它的估算結(jié)果落在區(qū)間內(nèi)，但是范圍比較大，我們覺(jué)得也可以。 二、科學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算技能 1．算理和具體計(jì)算方法的關(guān)系 一些教師認(rèn)為，計(jì)算教學(xué)沒(méi)有什么道理可講，學(xué)生只要把法則牢記于心，反復(fù)“演練”就可以達(dá)到正確、熟練的要求。運(yùn)算是基于法則進(jìn)行的，而法則又要滿(mǎn)足運(yùn)算定律。 小數(shù)乘法學(xué)生沒(méi)學(xué)過(guò)，但他們可以用直觀、邏輯推理的方法來(lái) 解決，這些方法都是用舊知推出新知，最后大家得出計(jì)算方法：小數(shù)乘小數(shù)的法則是先把整數(shù)相乘，然后，看它因數(shù)的小數(shù)位共有多少位，再?gòu)挠疫吰?，點(diǎn)出幾位小數(shù)，這就是具體的計(jì)算方法。 師：那么誰(shuí)愿意上來(lái)點(diǎn)點(diǎn)看，在這個(gè)圖中是指哪一部分呢？ 師：看來(lái)它們之間有著密切的聯(lián)系，我們把同學(xué)們的回答總結(jié)一下 。學(xué)生在聯(lián)系中理解了 21 3 的算理。 以“ 25 3=75”為例，學(xué)生怎么會(huì)得 95 呢？表面上是操作程序的錯(cuò)誤，實(shí)際上是算理不清楚。我們應(yīng)該科學(xué)地進(jìn)行訓(xùn)練，哪些題該訓(xùn)練，哪些題一定要在課堂上呈現(xiàn)或者需要反復(fù)地練習(xí)，教師一定要做到心中有數(shù)。 6 185247。 〔案例 4〕《分?jǐn)?shù)除以整數(shù)》的教學(xué)片段 片段一：班中組織聯(lián)歡會(huì)，布置教室需要做彩帶。我是這么做的： 45 13 ＝ 415 ，就是求 45 米的 13 是多少？ 師：生 2 來(lái)說(shuō)說(shuō)用你剛才的訪(fǎng)求怎么樣？ 生 2:這題要用 4247。 2 58 247。學(xué)生在這一過(guò)程中進(jìn)行廣泛的交流，在交流中相互碰撞、自我反思、自我修正，不斷地接納，提升了每種方法的價(jià)值，這正是數(shù)學(xué)的本質(zhì)所在。 3；正是這個(gè)題目的呈現(xiàn)，使學(xué)生產(chǎn)生了沖突，學(xué)生感到自己的方法具有局限性，從而把學(xué)生的思維引向深入，學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題的深刻性得以體現(xiàn)，選擇方法的能力更強(qiáng)，這正是吳老師提倡的“允許學(xué)生再次選擇有思維價(jià)值的方法”。 3＝ 45 13 ”。在此基礎(chǔ)上全班交流。作為教師不能一味的“傻練”，認(rèn)為“多多益善”的想法是不科學(xué)的。 在學(xué)習(xí)除法時(shí)，老師設(shè)計(jì)了這樣的練習(xí)： ⑴ 363247。比如有一位學(xué)生一直把“三八二十四”的口訣誤記成了“三八二十六”，教師 就要引導(dǎo)他自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的原因。如何處理學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤是提高計(jì)算能力的一個(gè)重要的方面。 ②在直觀教學(xué)中理解算理。 師： 6 是 20乘 3 得到的，所以它表示的是 6 個(gè) 10，因此 6就應(yīng)該寫(xiě)在十位上。這些做法已經(jīng)把算理和具體的計(jì)算方法有機(jī)地融合在一起了，不必單獨(dú)拿出來(lái)給學(xué)生講算理。 ⑵小數(shù)乘法的算理 “ ”的算理是什么？有一部分老師認(rèn)為就是把 和 同時(shí)擴(kuò)大 10 倍，積是 6，然后再把 6 縮小 100 倍，最后結(jié)果是 。 另外，從命題的角度，能不能讓題目更適合學(xué)生用估算的方法來(lái)解答。 1．根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要，選擇合理的估算策略 學(xué)生只要能夠解決實(shí)際問(wèn)題，那這個(gè)估算就應(yīng)該是合理的，這是針對(duì)著解決實(shí)際問(wèn)題來(lái)說(shuō)的。而王老師此時(shí)卻提了一個(gè)很有價(jià)值的問(wèn)題：“在你們估算時(shí)，老師已經(jīng)悄悄地把準(zhǔn)確的結(jié)果計(jì)算出來(lái)了。 1）看來(lái)大家對(duì)于估算有一定的經(jīng)驗(yàn)，下面我們就來(lái)試一試： 這是我們古城二小五年級(jí)六個(gè)班的人數(shù)統(tǒng)計(jì)： 班級(jí) 一班 二班 三班 四班 五班 六班 人數(shù) 33人 37人 35人 38人 36人 32人 你能估算出五年級(jí)大約一共有多少名學(xué)生嗎？ 2）反饋 生 1：把這六個(gè)數(shù)都看成 30， 30 6=180（人），我估算的結(jié)果大約是 180 人?？梢?jiàn)，讓孩子感覺(jué)到估算的必要性，并養(yǎng)成好的估算習(xí) 慣，是很有必要的。 ②要選好題目，提出好問(wèn)題，讓學(xué)生去體會(huì)估算的必要 性 作為教師，在教學(xué)設(shè)計(jì)中，首先要選好題目，提出好問(wèn)題，提出有估計(jì)價(jià)值的問(wèn)題，這對(duì)老師是個(gè)挑戰(zhàn)。另外從思維角度來(lái)講，對(duì)培養(yǎng)孩子快速的判斷和推理能力，也有一定的好處。 專(zhuān)題 1 新課程理念下運(yùn)算教學(xué)的研討 第二講 觀點(diǎn)分享 一、關(guān)于估算教學(xué)的思考 在估算教學(xué)中，我們分成三個(gè)層面進(jìn)行討論。 在多位數(shù)乘法計(jì)算中，涉及兩位數(shù)加一位數(shù)的進(jìn)位加法的題共 60 題，占總題量 的 60％，比如 748 7，要用到 28＋ 5， 49＋ 3 兩道口算題，這 60 道口算題的訓(xùn)練就應(yīng)增加題量。在這個(gè)過(guò)程中，不但建立了知識(shí)和知識(shí)之間的關(guān)系，而且更重要的是培養(yǎng)了孩子的遷移能力和數(shù)學(xué)思維能力。小數(shù)點(diǎn)‘點(diǎn)’哪兒呢？我認(rèn)為不會(huì)是 ,如果小數(shù)點(diǎn)前有兩個(gè) 0,前邊的 0就沒(méi)有意義 了 , 小數(shù)點(diǎn)前只能是一個(gè) 0,所以是 .” 米 米 學(xué)生 6：“ 乘以 10分，取其中的兩份。 在估算或估測(cè)過(guò)程中，由于每個(gè)學(xué)生都有自己 的想法，面對(duì)同一問(wèn)題所采取的策略不盡相同，因而估算結(jié)果往往是不唯一的，這就涉及估算的評(píng)價(jià)問(wèn)題。 師：這個(gè)方法的結(jié)果是不是最接近實(shí)際結(jié)果呢？ 生 1：是，因?yàn)?390 離 388 最近。它涉及的是計(jì)算教學(xué)中整體的、更深層次的問(wèn)題。 引言 對(duì)“運(yùn)算教學(xué)”的整體思考 頭腦風(fēng)暴： 1． 在運(yùn)算教學(xué)中，您對(duì)估算教學(xué)有哪些思考？ 2．如何處理算理與計(jì)算方法的關(guān)系？ 3．如何科學(xué)地培養(yǎng)小學(xué)生的運(yùn)算技能？ 4． 您對(duì)算法多樣化有哪些思考？ 5．在這部分教學(xué)中，您印象最深刻的教學(xué)現(xiàn)象是什么？您還有哪些 困惑的問(wèn)題？ 數(shù)與運(yùn)算在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中占有重要的地位，培養(yǎng)學(xué)生基本的運(yùn)算技能，一直是廣大教師關(guān)注的問(wèn)題。 學(xué)生這樣解答算不算對(duì)？ 給不給分？ 情境三： （ 1）課上通過(guò)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，引入了估算。 3．保羅用 $5去購(gòu)買(mǎi)牛奶、面包和雞蛋?！? 學(xué)生 3：“我沒(méi)有這么麻煩，不用把兩個(gè)數(shù)都擴(kuò)大，我只把 擴(kuò)大 10 倍， 2 得 ,再把 縮小到原來(lái)的十分之一，就是 . ” 學(xué)生 4：“我用豎式。 朝陽(yáng)區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)陳立華老師的經(jīng)驗(yàn) 她認(rèn)為學(xué)生對(duì)基本概念的理解是提高計(jì)算正確率的基礎(chǔ)；有效的訓(xùn)練是提高學(xué)生計(jì)算正確率的保障?？谒阌?xùn)練的材料，不是平均使用力量，要從錯(cuò)誤率及后繼學(xué)習(xí)作用兩方面來(lái)考慮。我覺(jué)得這個(gè)事學(xué)生想得特別巧，這是最好減的一個(gè)數(shù)了，所以我覺(jué)得這個(gè)小孩或許在他處理問(wèn)題的過(guò)程當(dāng)中，可能在減很多不好減的數(shù)的時(shí)候，都用一個(gè)最好減的數(shù)去減，然后他只用一個(gè) 1，同樣給調(diào)整過(guò)來(lái)，使差不變。這也是估算的重要應(yīng)用。下面提幾條具體的教學(xué)建議。 41，學(xué)生算的結(jié)果商是 21，他馬上發(fā)現(xiàn) 8000 多除以 40 多，商不可能是兩位數(shù)，肯定是算錯(cuò)了，他就去進(jìn)一步檢查哪里發(fā)生錯(cuò)誤。 教師追問(wèn)：能不能像前邊同學(xué)那樣對(duì)于某件商品只取一個(gè)與它近似的整數(shù)進(jìn)行輸機(jī)呢？（不能）現(xiàn)在我們就來(lái)進(jìn)行一下收銀員的工作，精確地這些商品到底價(jià)值多少錢(qián)？ +++++=98. 90（元） 4）請(qǐng)大家思考：顧客和收銀員同是計(jì)算這些商品的總價(jià)錢(qián)，那么在具體做法上有什么不同？ 5）生活中有很多問(wèn)題都是用估算的方法來(lái)解決的，回想一下我們的生活，在哪些時(shí)候用到過(guò)估算。經(jīng)驗(yàn)積累是重要的，有時(shí)候不是老師講會(huì)的，需要學(xué)生自己不斷地反思和調(diào)整原有的 認(rèn)識(shí)。 學(xué)生根據(jù)不同的情況，采取不同估計(jì)的策略，這是對(duì)學(xué)生估算能力的一種很好地培養(yǎng)過(guò)程。教師不要急于給予評(píng)判，給孩子一種寬松的氛圍，讓孩子不斷地學(xué)會(huì)調(diào)整，不斷地學(xué)會(huì)反思，提升孩子這種判斷的能力。運(yùn)算法則，來(lái)自于算理；學(xué)生在做計(jì)算的時(shí)候是基于運(yùn)算法則的，法 則通常又要滿(mǎn)足運(yùn)算律，這就是我們平時(shí)講課時(shí)應(yīng)做到明確算理，掌握法則。在具體直觀的圖中，學(xué)生理解了算理。 師：你們聽(tīng)明白了嗎？ 生：聽(tīng)明白了。由此使我們想到計(jì)算教學(xué)的價(jià)值決不僅僅是只會(huì)計(jì)算就行了，而是在計(jì)算過(guò)程中激發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)地探索，使學(xué)生的創(chuàng)造潛力得以發(fā)揮。學(xué)生在這樣的課堂里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力會(huì)不斷提升，他們能夠掌握更多的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，而師生的交流促進(jìn)了學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)展。 怎樣處理學(xué)生的錯(cuò)誤呢？當(dāng)學(xué)生出錯(cuò)時(shí)，不妨讓學(xué)生自己改一改題目，把兩個(gè)加號(hào)都改成乘號(hào)， 49 149 1，這才得 0 呢！讓學(xué)生自己改題，這種針對(duì)性的訓(xùn)練是非常必要的！抓住學(xué)生的錯(cuò)誤不放往縱深發(fā)展，讓他自己反省。讓學(xué)生在動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上掌握計(jì)算方法，以后學(xué)生完全壓縮到自己都不能意識(shí)的程度， 157=8很快就得出結(jié)果，這就是基本的計(jì)算技能訓(xùn)練到位的表現(xiàn)。 （ 3）注意練習(xí)的及時(shí)反饋，有效地進(jìn)行調(diào)控和指導(dǎo) 加強(qiáng)對(duì)學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生的輔導(dǎo)。 師：生 4 的方法你們聽(tīng)明白了嗎？（明白了）還有不同的方法嗎？ 片段二： 師：現(xiàn)在把“平均截成 2 段”改為“平均截成 3 段”， 45247。 生 2：用乘法比我的方法簡(jiǎn)便。我真替你們高興！ 看完這個(gè)案例，對(duì)我們有幾點(diǎn)啟發(fā)。由此我們深刻感到學(xué)生的體驗(yàn)和感悟是需要一個(gè)過(guò)程的。 師：談?wù)勀阕鐾赀@些練習(xí)后的想法。 師：生 5 來(lái)說(shuō)說(shuō)你的方法。 生 1：我是將這條紙條對(duì)折再對(duì)折，然后打開(kāi)這樣就可以看出有 4 個(gè) 15 米，它的一半就是兩份，就是 25 米。 ⑶寫(xiě)出三個(gè)商是 8 的算式 這個(gè)題目更開(kāi)放，被除數(shù)、除數(shù)都沒(méi)有確定，因?yàn)樽寣W(xué)生寫(xiě) 3個(gè)，學(xué)生沒(méi)有有序思考的意識(shí)。 為促進(jìn)學(xué)生形成運(yùn)算技能，加強(qiáng)練習(xí)是十分必要的，練習(xí)時(shí)要注意科學(xué)性，講求實(shí)效。老師只有深入了解學(xué)生，找準(zhǔn)錯(cuò)誤的原因，針對(duì) 學(xué)生的問(wèn)題進(jìn)行指導(dǎo)，這樣才會(huì)有實(shí)效。 但是，也有一點(diǎn)遺憾，就是當(dāng)那個(gè)學(xué)生寫(xiě)出的算式和規(guī)定