【正文】 1 , 1 3 , 1 3 , 1 3 ,1 3 . 1 1 . 1 1 . 1 1 .x x x xx x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 126xx??或 12xx? ??? . 討論 ,當(dāng) 126xx??時(shí)， 116k? ? ? ，此時(shí) 1。7k?? 當(dāng) 122xx? ?? 時(shí)， 112k? ? ?? ，此時(shí) ? 因?yàn)?k 的值滿足題意， 即 2 3 1 2 31 1 1 ,3 7 3? ? ? ? ? ? 因此 17k?? 或 1k? 綜上所述， k 的值為 0、 17? 或 1. 貴陽學(xué)院畢業(yè)論文 6 第三章 韋達(dá)定理的推廣及其若干應(yīng)用 第一節(jié) 韋達(dá)定理的推廣 代數(shù)基本定理 [3] ： 在復(fù)數(shù)域里 ， 一元 ? ?1nn? 次方程至少有一個(gè)根 . 多項(xiàng)式定理 [3] ： 在復(fù)數(shù)域中，任何 ? ?1nn? 次多項(xiàng)式恰有 n 個(gè)根 （重根按重?cái)?shù)計(jì)） . 設(shè) ??fx是一元 ? ?1nn? 多項(xiàng)式 ， 那么 ? ? 0fx? 叫做一元 n 次方程 ， 一元 n 次方程的一般形式是 ? ? 120 1 2 1 0n n n nnf x a x a x a x a x a?? ?? ? ? ? ? ? ?(其中 0 0,a n N??).當(dāng) 3n?時(shí) ,稱為一元高次方程 ??3 . 根據(jù)代數(shù)基本定理可知，任何一元 ? ?1nn? 次方程，在復(fù)數(shù)集中至少有一個(gè)根 .由多項(xiàng)式定理可知，在復(fù)數(shù)域中 ,任何 ? ?1nn? 次多項(xiàng)式必 有 n 個(gè)根 . 根據(jù)第二章所述韋達(dá)定理在一元二次方程 中 的基本形式 ，先 作 以下猜想： 在 一元 n 次方程 ? ? 120 1 2 1 0n n n nnf x a x a x a x a x a?? ?? ? ? ? ? ? ?（ 其中 0 0, 3,n n N? ? ?） 中，方程 的 n 個(gè) 根 1 2 3 1, , , , ,nnx x x x x?有 如下關(guān)系： （ ） ? ?? ?11 2 3 1021 2 2 3 3 4 2 1 1031 2 3 2 3 4 3 4 5 3 2 1 2 10111 2 3 1 2 3 401 2 3 10,1,1.nnn n n nn n n n n nnnnnnnnnax x x x xaax x x x x x x x x xaax x x x x x x x x x x x x x xaax x x x x x x xaax x x x xa?? ? ?? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ??????? ? ???????? 那我們接下來就試著 用多項(xiàng)式的相關(guān)理論推導(dǎo) 證明 ， 在一元高次方程中 根與系數(shù)的關(guān)系（ ） 是否存在 . 設(shè) 有 一元 ? ?1nn? 次多項(xiàng)式 貴陽學(xué)院畢業(yè)論文 7 ? ? 121 2 1n n n nnf x x a x a x a x a?? ?? ? ? ? ? ? （ ） ， 在復(fù)數(shù)域上 ， ??fx必 有 n 個(gè) 根（重根按重 數(shù)計(jì)），設(shè) 12,nx x x 為 ??fx的 n 個(gè) 根 ， 由多項(xiàng)式定理可知， 在 復(fù)數(shù)域 中 ， ??fx一定 可 以 分解 成 有 n 個(gè) 一次因式的乘積，即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 1nnf x x x x x x x x x x x?? ? ? ? ? ?.??2 （ ） 將 （ ） 的右端 展開 并合并同類項(xiàng) ，然后將 其 各次項(xiàng)的系數(shù) 與 （ ）右端 的各項(xiàng)系數(shù) 相比較，得出 如下 關(guān)系： ? ?1 1 2 。n nnn ax x x x x x a? ?? ? ? ? ? ?1 2 3 10 nnn ax x x x x a? ?? 這就是韋達(dá)定理的推廣 ,即一元 ? ?1nn? 次方程中根與系數(shù)的關(guān)系 . 第二節(jié) 推廣的韋達(dá)定理的若干應(yīng)用 推廣的韋達(dá)定理主要 應(yīng)用于求 一元高次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，巧妙地運(yùn)用這種 代數(shù)關(guān)系可以為 乏味的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 帶來 很多興趣，同時(shí)也為解題提供許多方便 ，廣泛應(yīng)用于高等代數(shù)、解析幾何、方程論和多項(xiàng)式等數(shù)學(xué)的諸多領(lǐng)域 .下面僅舉一些例子以示說明，更多的應(yīng)用還有很多 . 例 已知方程 3214 13 18 9 0x x x? ? ? ?的三個(gè)根的倒數(shù)成等差數(shù)列，解這個(gè)方程 ??5 . 解 析 根據(jù)題意可知方程 ? ? 329 18 13 14 0f x x x x? ? ? ? ?的三個(gè)根成等差數(shù)列， 不妨 設(shè)這三個(gè)根分別是 , 1 2 3,x x x （其中 12x x a??， 32x x a??） ， 由推廣的韋達(dá)定理可得 1 2 3 232x x x x? ? ? ?， 解得 2 23x? . 由 ? ? ? ? ? ? ? ?23 2 3 4 7 1 3 7f x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?， 可知 ? ? 0fx? 的另外兩個(gè)根是 1 1x?? ，3 ? 貴陽學(xué)院畢業(yè)論文 10 因此 ，原方程的根是 23， 1? 與 73. 例 解方程 ? ? ? ?? ?26 7 3 4 1 = 6x x x? ? ?. 解析 原方程可化為 ? ? ? ?? ?26 7 6 8 6 6 7 2x x x? ? ? ?. 設(shè) ? ?267ax??， ? ? ? ? ? ? 26 8 6 6 6 7 1b x x x? ? ? ? ? ?， 顯然 有 ? ?? ? 1,72.abab? ? ????? ? ? ??? 應(yīng)用韋達(dá)定理的逆定理，可構(gòu)造一元二次方程 2 72 0yy? ? ? ，則 a ， b? 為該方程的兩個(gè)根 . 解得 8y?? 或 9y? ， 由于 ? ?26 7 0ax? ? ?， 所以 9a? ， 8b? ?? . 即 ? ?26 7 9x??，即 ? ?? ?3 2 3 5 0xx? ? ?， 解得1 23x??，2 53x ??. 因此原方程的根為 25,.33?? 例 已知方程 5 4 3 22 7 8 2 6 5 0x x x x x? ? ? ? ? ?有兩個(gè)根是 2i? ， i ，解此方程 ??4 . 分析： 該題為已知兩個(gè)根，求方程的余下的根，因此可應(yīng)用韋達(dá)定理求解 . 解 由于實(shí)系數(shù)方程的非實(shí)復(fù)根成對(duì)出現(xiàn)且有相同的重?cái)?shù)，故 2i? ， i? 也是此方程的根 .由根的個(gè)數(shù)定理可知此方程有 5 個(gè)根，不妨設(shè)第 5 個(gè)根為 5x ，則 有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?52 2 .f x x i x i x i x i x x