【正文】 電子商務(wù)系列 上海財經(jīng)大學經(jīng)濟信息管理系 IS/SHUFE Page 9 of 54 （ 4） )(pAR 模型的自相關(guān)函數(shù) 由于平穩(wěn)時間序列有自相關(guān)函數(shù) )0(/)()( ??? kk ? ，在自協(xié)方差函數(shù)的遞推公式 ()等號兩邊同除以方差函數(shù) )0(? ，就得到自相關(guān)函數(shù)的遞推公式： )()2()1()( 21 pkkkk p ??????? ??????? ? () 例如，對于 )1(AR 模型的自相關(guān)函數(shù)的遞推公式為： kkkkk11111)0()2()1()(??????????????? () 根據(jù)式 ()可以推出，平穩(wěn) )(pAR 模型的自相關(guān)函數(shù)有兩個顯著的性質(zhì)： ? 拖尾性 —— 自相關(guān)函數(shù) )(k? 始終有非零取值，不會在 k 大于某個常數(shù)之后就恒等于零。 標準正態(tài)分布白噪聲序列X t4321012340 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000時間白噪聲 圖 40－ 1 標 準正態(tài)白噪聲序列時序圖 根據(jù)白噪聲序列的定義，白噪聲序列具有三個重要的性質(zhì)： ? 常數(shù)均值（ ??tEX ） ? 純隨機性（ 0),( ?str ） ? 方差齊性（ 2),( ??str ） 2. 純隨機性檢驗 1ba694132f173c3031b404de55e1b101 商務(wù)數(shù)據(jù)分析 電子商務(wù)系列 上海財經(jīng)大學經(jīng)濟信息管理系 IS/SHUFE Page 5 of 54 Barlett 證明，如果一個時間序列是純隨機的，得到一個觀察期數(shù)為 n 的觀察序列 tX ，那么該序列的延遲非零期的樣本自相關(guān)系數(shù)將近似服從均值為零、方差為序列觀 察數(shù)倒數(shù)的正態(tài)分布，即 ： )1,0(~)( nNk? () 式中 ， k 為延遲期數(shù)， n 為樣本觀察期數(shù)。 3. 樣本的估計值 在平穩(wěn)序列場合，序列的均值等于常數(shù)意味著原本含有可列多個隨機變量的均值序列變成了只含有一個變量的常數(shù)序列，所以常數(shù)均值 ? 的估計值為 ： n xxnt t? ??? 1?? () 同樣 ， 可以根據(jù)平穩(wěn)序列二階矩平穩(wěn)的性質(zhì)，得到基于樣本計算出來的各種估計值。1ba694132f173c3031b404de55e1b101 商務(wù)數(shù)據(jù)分析 電子商務(wù)系列 上海財經(jīng)大學經(jīng)濟信息管理系 IS/SHUFE Page 1 of 54 第四十課 平穩(wěn)時間序列分析 對時間序列數(shù)據(jù)的分析，首先要對它的平穩(wěn)性和純隨機性進行檢驗。 自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù) —— 度量用一事件在兩個不同時期之間的相互影響的程度。圖 40－ 1 所示 的 是隨機生成的 1000 個服從標準正態(tài)分布的白噪聲序列觀察值。 引進延遲算子，設(shè) Pp BBBB ??? ?????? ?2211)( ，又稱為 p 階自回歸系數(shù)多項式，則中心化 )(pAR 模型 可以簡記為： ttxB ??? )( () （ 2） )(pAR 模型的方差 要得到平穩(wěn) )(pAR 模型的方差，需要借助于 Green 函數(shù)的幫助。樣本偏自相關(guān)圖可以直觀地驗證平穩(wěn) )(pAR 模型偏自相關(guān)系數(shù)具有 p 步截尾性。一個自相關(guān)系數(shù) 唯 一對應一個可逆 )(qMA 模型。Jankins 和 Watts 已經(jīng)證明樣本自相關(guān)系數(shù)是總體自相關(guān)系數(shù)的有偏估計： kk nkE ?? ?????? ?? 1)?( () 式中 ， k 為延遲階數(shù)， n 為樣本容量。即： ? ?),。它假定時間序列過去未觀察到序列值等于序列均值，如果是中心化后的序列，則序列過去未觀察到序列值等于零（ 0,0 ?? txt ）。但是這種有效的擬合模型并不是 唯一 的。 根據(jù) ),( qpARMA 模型的平穩(wěn)性和可逆性，可以用 Green 函數(shù)的傳遞形式和逆轉(zhuǎn)函數(shù)的逆轉(zhuǎn)形式等價描述該序列： iti it Gx ????? ?0 () jtj jt xI ????? 0? () 式 ()中， iG 為 Green 函數(shù)： ????? ???? ?? ?ik39。在正態(tài)假定下，估計值 ltx?? 的 ??1 的置信區(qū)間為： ?? ?2/12 1212/1 )1(? ??? ???? llt GGzx ? () 八、 proc autoreg 過程 自回歸過程 autoreg 用于估計和預測誤差項自相關(guān)或異方差的時間序列數(shù)據(jù)的線性回歸模型。 ? covout ＝數(shù)據(jù)集名 —— 把估計參數(shù)的協(xié)方差陣輸出到指定數(shù)據(jù)集中。 ? covb—— 打印參數(shù)估計的估計協(xié)方差。 ? nomiss—— 使用沒有缺失值的第一個連貫時間序列數(shù)據(jù)集，進行模型擬合估計。 ? lcl＝變量名 —— 把預測值的置信下限寫入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中。 e11=e1。 symbol2 v=none i=rl。其中 ， 一個 2R 統(tǒng)計量是對回歸模型的 Reg Rsq，而另一個 2R 統(tǒng)計量是 對包括自回歸誤差在內(nèi)的整體模型的 Total Rsq，在此過程中現(xiàn)在還無自回歸誤差模型，所以 兩 個 2R 統(tǒng)計量是相等的。例如，對于月度數(shù)據(jù)至少應取 dw=12。由于 SAS 的繪圖過程具有簡單的統(tǒng)計功能，我們可以直接在同一張輸出圖中同時繪出一條線性回歸趨勢線以供參考， symbol2 語句中 i=rl選項，就是指定 plot 語句中 x*t=2 選項做 x對 t 的回歸。 run。 e11=0。僅 GARCH模型被估計時才使用。 ? slstay=數(shù)值 —— 指定被 backstep 選項使用的顯著水平，缺省值為 。選項 tr對 GARCH模型的估計使用信賴區(qū)域方法，缺省值為對偶擬牛頓法 ? all—— 要求打印所有輸出選項。 其中，至少要有一個 model語句。根據(jù)線性函數(shù)的可加性，所有未知信息都可以用已知信息的線性函數(shù)表1ba694132f173c3031b404de55e1b101 商務(wù)數(shù)據(jù)分析 電子商務(wù)系列 上海財經(jīng)大學經(jīng)濟信息管理系 IS/SHUFE Page 22 of 54 示出來，并用該函數(shù)進行估計： ??? ?? ? 0 ?? i itilt xDx () 用 )(let 衡量預測誤差： ltltt xxle ?? ?? ?)( () 顯然，預測的誤差越小預測的精度就越高，目前最常用的預測原則是預測誤差的方差最小法： ? ?? ?)(m in leV a rV t? () 因為 ltx?? 為 ?, 21 ?? ttt xxx 的線性函數(shù)，所以也稱為線性預測方差最小法。之所以稱為相對最優(yōu)模型是因為不可能比較所有模型。可以構(gòu)造出檢驗未知參數(shù)顯著性的 )( mnt ? 檢驗統(tǒng)計1ba694132f173c3031b404de55e1b101 商務(wù)數(shù)據(jù)分析 電子商務(wù)系列 上海財經(jīng)大學經(jīng)濟信息管理系 IS/SHUFE Page 20 of 54 量，其中 m 為參數(shù)的個數(shù)。 3. 參數(shù)的最小二乘估計 參數(shù)的最小二乘估計 ULS（ unconditional least squares）是使 ),( qpARMA 模型的殘差平方和達到最小的那組參數(shù)值。 白噪聲序列的方差 2?? 的矩估計，是用時間序列樣本數(shù)據(jù)計算出樣本方差 2?x? 來估計總體方差 2x?求得。因此，這個過程也稱為模型定階過程或模型識別過程。這個約束條件稱為 )(qMA 的可逆性條件。根據(jù)線性方程組求解的 Gramer 法則，有 ： DDkkk?? () 式中： kkkkkkkkDD?????????????????????????212111212111111,1111???????? 可以證明對于平穩(wěn) )(pAR 模型，當 pk? 時，有 0?kD ，這樣 0?kk? 。 1. )(pAR 模型 具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為 p 階自回歸模型，簡記為 )(pAR ： tptpttt xxxx ????? ?????? ??? ?22110 () 其中 ， 包含三個限制條件：模型的最高階數(shù)為 p ，即 0?p? ；隨機干擾序列 t? 為零均值的白噪聲序列，即 ),0(~ 2??? WNt ；當期的隨機干擾與過去的序列值無關(guān)，即 tsEx ts ?? ,0? 。因此，為了確保平穩(wěn)序列還值不值得分析下去，需要對平穩(wěn)序列進1ba694132f173c3031b404de55e1b101 商務(wù)數(shù)據(jù)分析 電子商務(wù)系列 上海財經(jīng)大學經(jīng)濟信息管理系 IS/SHUFE Page 4 of 54 行純隨機性檢驗。即式 ()的條件。目前，最常用的擬合平穩(wěn)序列的模型是 ARMA（ Auto Regression Moving Average）模型。對任一 p 階自回歸 AR(p)過程 ： tptptt xxx ??? ???? ?? ?11 () 它的特征方程為 ： 011 ???? ? ppp ???? ? () 如果該方程所有的特征根都在單位 圓內(nèi)，即 pii ,2,1,1 ???? ， 則序列 tX 平穩(wěn)。 （ 2） LBQ 檢驗統(tǒng)計量 因為 BPQ 檢驗統(tǒng)計量在小樣本場合時不太精確，所以 Ljung和 Box又推導出 LBQ 檢驗統(tǒng)計量 ： )(~)(?)2( 21 2 mkn knnQ mkLB ???? ???????? ??? () 式中， n 為序列觀察期數(shù)， m 為指定延遲期數(shù)。因為這個 )(k? 還會受到中間 1?k 個隨機變量 121 , ???? kttt xxx ? 的影響，即這 1?k個隨機變 量既與 tx 又與 ktx? 具有相關(guān)關(guān)系。 引進延遲算子，設(shè) qq BBBB ??? ?????? ?2211)( ，又稱為 q 階自移動平均系數(shù)多項式，則中心化 )(qMA 模型可以簡記為： tt Bx ?)(?? () （ 2） )(qMA 模型的方差 平穩(wěn) )(qMA 模型的方差為： 2222212211)1()()(?????????????qqtqtttt V a rxV a r??????????? ????? () （ 3） )(qMA 模型的自協(xié)方差 平穩(wěn) )(qMA 模 型的自協(xié)方差 只與滯后階數(shù) k 相 關(guān)，且 q 階截尾 。所以， )(pAR 模型和 )(qMA 模型實際上是 ),( qpARMA 的特例，它們統(tǒng)稱為ARMA 模型。為模型定階后，該模型共含有 2??qp 個未知參數(shù)： 211 , ??????? qp ?? 。在求極大似然估計時，為了求導方便，常對似然函數(shù)取對數(shù)，然后對對數(shù)似然函數(shù)中的未知參數(shù)求偏導數(shù)，得到似然方程組。為了克服 DW 檢驗的有偏性， Durbin 在 1970 年提出了 DW統(tǒng)計量的兩個修正統(tǒng)計量： Durbin t 和 Durbin h 統(tǒng)計量，這兩個統(tǒng)計量漸近等價。在 AIC 準則中擬合誤差等于 )?ln( 2??n ，即擬合誤差隨樣本容量 n 放大。kkj39。 Autoreg 過程能檢驗異方差，并且提供 GARCH 模型族來估計和校正數(shù)據(jù)易變性。例如， nlag＝ 3 與 nlag＝（ 1 2 3）作用相同，但與 nlag＝（ 1 3）等不同。 ? itprint—— 打印每步迭代的目 標函數(shù)和參數(shù)估計 。 3. output 語句。 ? rm＝變量名 —— 把來自模型結(jié)構(gòu)部分預測的殘差寫入到輸出數(shù)據(jù)集的指 定變量中。 proc print data=randar。關(guān)鍵的統(tǒng)計假設(shè)為誤差相互 獨 立。 3. 檢驗模型的自相關(guān)系數(shù) proc autoreg data=randar。 run。這將導致三個重要的后果：第一個是對于參數(shù)的顯著性和置信限的統(tǒng)計檢驗將不正確；第二個是回歸系數(shù)的估計不 如 考慮到自相關(guān)性時的估計一樣有效；第三個是由于回歸殘差不獨立，它們包含可用來改進預測值的信息。 程序說明 ：產(chǎn)生了 t=1 到 36 條 x觀察值。 4. b