【正文】 ；首先排“排頭”有種，再排其它4個位置有種，所以共有：=24種（2）甲必須在排頭，并且乙在排尾的排法種數(shù)：=6種（3）首先排兩端有種，再排中間有種，所以甲、乙必須在兩端排法種數(shù)為：=12種（4）甲不在排頭，并且乙不在排尾排法種數(shù)為：－2+=78種（5）因為兩端位置符合條件的排法有種，中間位置符合條件的排法有種，所以甲、乙不在兩端排法種數(shù)為=36種（6）因為甲、乙共有2！種順序，所以甲在乙前排法種數(shù)為：247。例2. (1) 將5封信投入6個信箱，有多少種不同的投法？(2) 設(shè)I＝{1,2,3,4,5,6}，A與B都是I的子集，A∩B＝{1,3,5}，則稱(A,B)為理想配，所有理想配共有多少種？(3) 隨著電訊事業(yè)的發(fā)展，許多地方電話號碼升位，若某地由原來7位電話號碼升為8位電話號碼，問升位后可多裝多少門電話機(jī)？(電話號碼首位不為0)解：（1）65 （2）27 （3）電話號碼首位不為0：9107－9106＝107變式訓(xùn)練2：一個圓分成6個大小不等的小扇形，取來紅、黃、蘭、白、綠、黑6種顏色。設(shè)直線的傾斜角為，并且為銳角。 故選B.變式訓(xùn)練2：從5位男教師和4位女教師中選出3位教師派到3個班擔(dān)任班主任(每班一位班主任)，要求這3位班主任中男女教師都要有，則不同的選派方案共有 （ ）A．210種 B．420種 C．630種 D．840種解：B例3. (1) 把10本相同的書分給編號1,2,3的閱覽室，要求每個閱覽室分得的書數(shù)不大于其編號數(shù)，則不同的分法有多少種？(2) 以平行六面體ABCD—A1B1C1D21的任意三個點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)取出兩個三角形，則這兩個三角形不共面情況有多少種？(3) 一次文藝演出中需要給舞臺上方安裝一排完全相同的彩燈15只，現(xiàn)以不同的亮燈方式來增加舞臺效果，設(shè)計者按照每次亮燈時恰好有6只是關(guān)的，且相鄰的燈不能同時關(guān)掉，兩端的燈必須要亮的要求進(jìn)行設(shè)計，求有多少不同的亮燈方式？解：（1）先在編號為1，2，3的閱覽室中依次放入0，1，2本書，再用隔板法分配剩下的書有＝15種，（2）平行六面體中能構(gòu)成三角形個數(shù)＝56為任取兩個有種情況，其中共面的有12，因而不共面的有—12種 （3）變式訓(xùn)練3：馬路上有編號為1， 2， 3， 4…..10的十盞路燈，為節(jié)約用電，又不影響照明可以把其中的三盞關(guān)掉，但不能關(guān)掉相鄰的兩盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法種數(shù)有_______種.解：20 用插排法，把七盞亮燈排成一排，七盞亮燈之間有6個間隔，再將三盞不亮的燈插入其中的3個間隔，一種插法對應(yīng)一種關(guān)燈的方法，故有種關(guān)燈方法．例4. 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個點(diǎn)，(1) 在其中取4個共面的點(diǎn)，共有多少種不同的取法？(2) 在其中取4個不共面的點(diǎn)，共有多少種不同的取法．解：(1)四個點(diǎn)共面的取法可分三類．第一類：再同一個面上取，共有4個面；第二類：在一條棱上取三點(diǎn)，再在它所對的棱上取中點(diǎn)，共有6個面；第三類：在六條棱的六個中點(diǎn)中取，取兩對對棱的4個中點(diǎn)，共有＝3個面．故有69種．(2) 用間接法．共＝141個面．變式訓(xùn)練4：在1， 2， 3…100這100個數(shù)中任選不同的兩個數(shù)，求滿足下列條件時各有多少種不同的取法．(1) 其和是3的倍數(shù) (2) 其差是3的倍數(shù)(大數(shù)減小數(shù)). (3) 相加，共有多少個不同的和. (4) 相乘，使其積為7的倍數(shù).解：(1) 1650 (2) 1617 (3) 197 (4)1295小結(jié)歸納1．解有關(guān)組合應(yīng)用問題時，首先要判斷這個問題是不是組合問題．區(qū)別組合問題和排列問題的唯一標(biāo)準(zhǔn)是“順序”．需要考慮順序的是排列問題不需要考慮順序的的才是組合問題．2．要注意準(zhǔn)確理解“有且僅有” “至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語的確切含義．3．組合問題的一般可抽象為“選派”模型來處理．另外有的問題也可用框圖結(jié)合對應(yīng)思想來處理。請問：⑴6個小扇形分別著上6種顏色有多少種不同的著色方法?⑵從這6種顏色中任選5種著色,但相鄰兩個扇形不能著相同的顏色, 則有多少種不同的著色方法?解：⑴6個小扇形分別著上6種不同的顏色,共有種著色方法.⑵6個扇形從6種顏色中任選5種著色共有種不同的方法。則tan=－＞0,不妨設(shè)a＞b,那么b＜0當(dāng)c≠0時,則a有3種取法,b有3種取法,c有4種取法,并且其中任意兩條直線不重合,所以這樣的直線有334=36條當(dāng)c=0時, a有3種取法,b有3種取法, 其中直線:3x3y=0,2x2y=0,xy=0重合,所以這樣的直線有332=7條故符合條件的直線有7+36=43條變式訓(xùn)練3：將5名大學(xué)生畢業(yè)生分配到某公司所屬的三個部門中去，要求每個部門至少分配一人，則不同的分配方案共有______種.解： 例4. 從集合{1，2，3，……20}中任選3個不同的數(shù)，使這3個數(shù)成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列可以有多少個？解：a，b，c a，b，c成等差數(shù)列 要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，故滿足題設(shè)的等差數(shù)列共有A＋A＝180(個)變式訓(xùn)練4：某賽季足球比賽中的計分規(guī)則是：勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分，一球 隊打完15場，積33分，若不考慮順序，該隊勝負(fù)平的情況共有多少種？解：設(shè)該隊勝負(fù)平的情況是：勝x場，負(fù)y場，則平15－(x＋y)場，依題意有：x≥9 。 答案:1260例2．5男4女站成一排，分別指出滿足下列條件的排法種數(shù)(1) 甲站正中間的排法有 種，甲不站在正中間的排法有 種．(2) 甲、乙相鄰的排法有 種，甲乙丙三人在一起的排法有 種．(3) 甲站在乙前的排法有 種，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相鄰）的排法有 種．丙在甲乙之間（不要求一定相鄰）的排法有 種．(4) 甲乙不站兩頭的排法有 種，甲不站排頭，乙不站排尾的排法種有 種．(5) 5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有 種．(6) 女生互不相鄰的排法有 種，男女相間的排法有 種．(7) 甲與乙、丙都不相鄰的排法有 種，甲乙丙三人有且只有兩人相鄰的排法有 種．(8) 甲乙丙三人至少有1人在兩端的排法有