【正文】 對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標明。 本科 畢業(yè)論文 蛛網(wǎng)模型的數(shù)學解 析 與實際應(yīng)用研究 1 蛛網(wǎng)模型的數(shù)學解 析 與實際應(yīng)用研究 摘 要： 本文首先從 蛛網(wǎng)模型的經(jīng)濟學定 性分析 出發(fā)， 分析了 蛛網(wǎng)波動的三種 類型 .然后分別 在連續(xù)時間的條件下以 時滯 微分方程的形式和 在 離散化時間 條件下 以差分方程的形式 兩種角度建立模型， 對傳統(tǒng)的蛛網(wǎng)模型進行了定量分析并討論了 均衡點趨于穩(wěn)定的條件 .最后討論了蛛網(wǎng)模型的實際應(yīng)用并對其進行了改進及推廣 . 關(guān)鍵詞： 蛛網(wǎng)模型 ； 差分方程 ；時滯 微分方程 ； 穩(wěn)定性 1 蛛網(wǎng)模型介紹 蛛網(wǎng)理論 (cobweb theorem)，又稱蛛網(wǎng)模型，是利用彈性理論來考察價格波動對下一個 周期產(chǎn)量影響的動態(tài)分析，它是用于市場均衡狀態(tài)分析的一種理論模型 . 蛛網(wǎng)理論是 20 世紀 30 年代出現(xiàn)的一種關(guān)于動態(tài)均衡分析方法 . 許多商品特別是某些生產(chǎn)周期較長的商品 (如豬肉 ,棉花等 )，他們的 的市場價格、數(shù)量會隨時間的變化而發(fā)生變化 ,呈現(xiàn)時漲時跌、時增時減、交替變化的規(guī)律 . 1930年美國的 舒爾茨 、荷蘭的 丁伯根 和意大利的 里奇 各自獨立提出 ,由于價格和產(chǎn)量的連續(xù)變動用圖形表示猶如蛛網(wǎng)， 1934年英國的 尼古拉斯 本人完全意識到本聲明的法律后果由本人承擔。除了文中特別加以標注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。 卡爾多 將這種理論命名為蛛網(wǎng)理論 .蛛網(wǎng)模型 理論 是在現(xiàn)實生活中應(yīng)用較多、較廣的動態(tài)經(jīng)濟模型，它在一定范圍內(nèi)揭示了市場經(jīng)濟的規(guī)律，對實踐具有一定的指導作用 .根據(jù)產(chǎn)品需求彈性與供給彈性的不同關(guān)系，將波動情況分成三種 類型 ：收斂型蛛網(wǎng)（供給彈性小于需求彈性）、發(fā)散型蛛網(wǎng)（供給彈性大于需求彈性）和封閉型蛛網(wǎng) (供給彈性等于需求彈性 ).近年來， 許多學者對經(jīng)典的蛛網(wǎng)模型進行了廣泛的的研究并做了一些改進 ,建立了更符合實際經(jīng)濟意義的蛛網(wǎng)模型 . 在這些研究中 ,對蛛網(wǎng)模型的假設(shè)基本上是 基于單一商品市場上 ,將時間離散化后 ,從差分方程的角度入手 , 研究蛛網(wǎng)模型的穩(wěn)定性 ,并通過討論模型平衡點的穩(wěn)定性 ,得到了蛛網(wǎng)模型穩(wěn)定的條件 .實際上，價格是影響商品需求量、供給量因素 ,但并非唯一因素，例如人們對某種商品的需求量不僅與商品的價格有關(guān) ,也與 2 人們當期的可支配收入、當期價格上漲率等有關(guān)；另一方面，由于市場信息的滯后作用，生產(chǎn)者在進行市場價格與供給預測時，不僅會考慮前一期的價格，還會考慮到前幾期甚至更長一段時期商品價格的綜合趨勢，因此考慮時滯效應(yīng)的非均衡蛛網(wǎng)模型更具有實際意義 .本文 建立了蛛網(wǎng)理論的數(shù)學模型 ,給出了相應(yīng)的數(shù)學分析與論證，使蛛網(wǎng)理論有了一個更加完備的理論基礎(chǔ)，同時也為這一理論的量化分析提供了新的思路 . 2 蛛網(wǎng)模型在西方經(jīng)濟學中的定性 分析 蛛網(wǎng)模型考察的是生產(chǎn)周期較長的商品 .蛛網(wǎng)模型的基本假設(shè) 條件 是：商品的本期產(chǎn)量 stQ 決定于前一期的價格 1?tP ，即供給函數(shù)為 )( 1?? tst PfQ .商品本期的需求量 dtQ 決定于本期的價格 tP ，即需求函數(shù)為 )( tdt PgQ ? .文中用 tP 、 tQ 、 dtQ 、 stQ 分別表示 t 時刻的價格、數(shù)量、需求量、供給量 .蛛網(wǎng)模型是一個動態(tài)模型，它根據(jù)供求曲線的彈性分析了商品的價格和產(chǎn)量波動的三種 類型：“收斂型蛛網(wǎng)”、“發(fā)散型蛛網(wǎng)”和 “封閉型蛛網(wǎng)” . 第一種 類型 ：如圖 21 所示，相對于價格軸，需求曲線斜率的絕對值大于供給曲線斜率的絕對值 .當市場受到干擾偏離原有的均衡狀態(tài)以后，實際價格和實際產(chǎn)量會圍繞均衡水平上下波動，但波動的幅度越來越小，最后會恢復到原來的均衡點 .相應(yīng)的蛛網(wǎng)稱為“收斂型蛛網(wǎng)” . 由 于某種原因的干擾，如惡劣的氣候條件，實際產(chǎn)量由均衡水平 eQ 減少為 1Q .根據(jù)需求曲線，消費者愿意以價格 1p 購買全部產(chǎn)量 1Q ，于是，實際價格上升為 1p . 根據(jù)第一期較高的價格水平 1p ，按照供給曲線，生產(chǎn)者將第二期的產(chǎn)量增加為 2Q ；在第二期，生產(chǎn)者為了出售全部產(chǎn)量 2Q ，接受消費者支付的價格 2p ，于是實際價格下降為 2p .根據(jù)第二期較低的價格 2p ,生產(chǎn)者將第三期的產(chǎn)量減少為 3Q ； 在第三期，消費者愿意支付 3p 的價格購買全部的產(chǎn)量 3Q ,于是實際價格又上升為 3p .根據(jù)第三期的較高的價格 3p ，生產(chǎn)者又將第四期的產(chǎn)量調(diào)整為 4Q . 3 依此類推 ，如圖 21 所示，實際價格和實際產(chǎn)量的波動幅度越來越小，最后恢復到均衡點 E 所代表的水平 .由此可見，圖 21 中均衡點 E 狀態(tài)是穩(wěn)定的 .也就是說，由于外在的原因，當價格與產(chǎn)量發(fā)生波動而偏離均衡狀態(tài) ? ?ee QP、 時，經(jīng)濟體系中存在著自發(fā)的因素，能使價格和產(chǎn)量自動的恢復均衡狀態(tài) .在圖 21 中，產(chǎn)量與價格變化的路徑就形成了一個蜘蛛網(wǎng)似的圖形 . 從圖 21 中 可以看到 ,只有當供給曲線斜率的絕對值大于需求曲線斜率的絕對值時 ,即供給曲線比需求曲線較為陡峭時 ,才能得到蛛網(wǎng)穩(wěn)定的結(jié)果 ,相應(yīng)的蛛網(wǎng)被稱為“收斂型蛛網(wǎng)” .在這里 ,我們看到 ,除第一期受到外在原因干擾外 ,其它各期都不會再受新的外在原因干擾 ,從而前一期的價格能夠唯一決定下一期的產(chǎn)量 .按照動態(tài)的邏輯順序 ,我們還看到 ,生產(chǎn)者 片面 地根據(jù)上一期的價格決定供給量 , 消費者被動地消費生產(chǎn)者提供的全部生產(chǎn)量 ,而價格則由盲目生產(chǎn)出來的數(shù)量所決定 . 第二種 類型 ：如圖 22 所示，相對于價格軸，需求曲線斜率的絕對值小于供給曲線斜率的絕對值 .當市場受到外力干擾偏離原有的均衡狀態(tài)以后，實際價格和實際產(chǎn)量會圍繞均衡水平上下波動，但波動的幅度越來越大，最后會偏離原來的均衡點 .相應(yīng)的蛛網(wǎng)稱為“發(fā)散型蛛網(wǎng)” . 4 假定 在第一期由于某種原因的干擾，實際產(chǎn)量由均衡水平 eQ 減少為 1Q .根據(jù)需求曲線，消費者愿意支付價格 1p 購買全部產(chǎn)量 1Q ，于是 實際價格上升為 1p ，根據(jù)第一期較高的價格水平 1p ，按照供給曲線，生產(chǎn)者將第二期的產(chǎn)量增加為 2Q ；在第二期，生產(chǎn)者為了出售全部產(chǎn)量 2Q ，接受消費者支付的價格 2p ，于是實際價格下降為 2p .根據(jù)第二期較低的價格 2p ,生產(chǎn)者將第三期的產(chǎn)量減少為 3Q ； 在第三期，消費者愿意支付 3p 的價格購買全部的產(chǎn)量 3Q ,于是實際價格又上升為 3p ； 根據(jù)第三期的較高的價格 3p ，生產(chǎn)者又將第四期的產(chǎn)量調(diào)整為 4Q . 依此類推 ，如圖 22 所示，實際價格和實際產(chǎn)量的波動幅度越來越大，最后偏離均衡點 E 所代表的水平 .由此可見，圖 22 中均衡點 E 所代表的均衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的 . 從圖 22 可看出，當相對于價格軸，需求曲線斜率的絕對值小于供給曲線斜率的絕對值時，即相對于價格軸而言，需求曲線比供給曲線較為平緩時，才能得到蛛網(wǎng)不穩(wěn)定的結(jié)果 .所以供求曲線的上述關(guān)系是蛛網(wǎng)不穩(wěn)定的條件，當市 場由于受到干擾偏離原有的均衡狀態(tài)以后，實際價格和實際產(chǎn)量會圍繞均衡水平上下波動，但波動的幅度越來越大，偏離原來的均衡點越來越遠 .相應(yīng)的蛛網(wǎng)稱為“發(fā)散型蛛 5 網(wǎng)” . 第三種 類型 ：如圖 23 所示 ,相對于價格軸，需求曲線斜率的絕對值等于供給曲線斜率的絕對值 時 .市場受到外力干擾偏離原有的均衡狀態(tài)以后，實際價格和實際產(chǎn)量會按照同一幅度圍繞均衡水平上下波動，既不偏離，也不趨向均衡點 .相應(yīng)的蛛網(wǎng)稱為“封閉型蛛網(wǎng)” . 對于圖 23 中 ,不同時點的價格與供求量之間的解釋與前兩種情況類似，故從略 .從圖 23 可看出，當相對于價格軸，需求曲線斜率的絕對值等于供給曲線斜率的絕對值時，即相對于價格軸而言，供求曲線具有相同的陡峭與平緩程度時，蛛網(wǎng)以相同的幅度上下波動，相應(yīng)的蛛網(wǎng)稱為“封閉型蛛網(wǎng)” . 3 蛛網(wǎng)模型的數(shù)學分析 連續(xù)時間條件下的蛛網(wǎng)模型的數(shù)學分析 在連續(xù)時間的條件下 ,建立起微分方程形式的蛛網(wǎng)模型 ,研究蛛網(wǎng)模型的穩(wěn)定性 ,并對模型結(jié)果進行了經(jīng)濟解釋 .我們考慮基于單一商品的市場的蛛網(wǎng)模型，并假設(shè) :時間是連續(xù)變量 ,價格、商品數(shù)量隨時間連續(xù)變化 . 設(shè)某商品價格是時間 t 的函數(shù) ??p pt? ，供給量 S 由供給函數(shù) ? ?S f p? 決定 ,記做 ??tS .供給是由多種因素決定的 , 這里我們略去價格以外的因素 , 只討 6 論供給與價格的關(guān)系 .考慮到商品生產(chǎn)者對商品信息了解到商品價格的調(diào)節(jié)有個時間滯后，假定供給是某一時期價格 ? ?pt t?? 的線性函數(shù) :