【正文】 22239。 ?xf (或 ? ? 039。 ?? , 從而 ? ? ? ? 11 ??? sxssxf 對(duì) ??xf 在區(qū)間 ]1,[ ?ii , ni ,1,0 ?? 應(yīng)用微分中值定理 , 即由引理 1 得 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1,11,1,112,1,1121,0,10111111122111111??????????????????????????????????nnsnnnnsnnssnsnssnsnssssssss??????????? 因?yàn)? 0?s , 0?x 因此 ??0 ?xf ， ? ? ? ? ? ?kffkf k 39。 txtt ???? ? txttx t ????? 0? 即 ??xg 在 0?x , xt? , 0?t 時(shí)單調(diào)遞增 , 又 ? ? tttxxxxx extxtxf ???????????? ??????????????? ???????? ?? 1l i m1l i ml i m 即 ???x 時(shí) , tx ext ???????? ?1 從而當(dāng) 0?x , xt? , 0?t 時(shí) , 01 ??????? ???xtxte (2)當(dāng) 0?t 時(shí) , 01 ??????? ???xtxte (3)當(dāng) xt? 時(shí) , 01 ???????? ?? ?? xxt exte 綜上所述 當(dāng) 0?x , xt? 時(shí) , 01 ??????? ???xtxte 用函數(shù)的凹凸性證明不等式 利用函數(shù)的凹凸性來證明不等式就是根據(jù)函 數(shù)凹凸性定義中的不等式關(guān)系，構(gòu)造一個(gè)凸函數(shù)或凹函數(shù)來證明，由定義及判別法有 ??xf 在某區(qū)間上 (二階可導(dǎo) )為凸 (凹 )函數(shù) ? ? ? ?? ?00 ??? xfxf 10 則有下列不等式成立 ? ? ? ? ? ?? ?nn xfxfxfnn xxxf ??????????? ??? ?? 2121 1 ( ? ? ? ? ? ?? ?nn xfxfxfnn xxxf ??????????? ??? ?? 2121 1) 由此可證明一些不等式，特別是含有兩個(gè)或兩個(gè)以上變?cè)?. 例 設(shè) ? ?nixi ,2,10 ??? , 證明 nxxxxxxxxxn nnnn???????212121111 ?? 其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) nxxxx ???? ?321 時(shí)成立 . 分析 將不等式各部分同時(shí)取對(duì)數(shù)，這時(shí)左邊的 不等式可變?yōu)? ???????? ????????nn xxxnn xxx 1ln1ln1ln1111ln2121 ?? 從而可以通過函數(shù) ? ? xxf ln?? 為 ? ???,0 上的凸函數(shù)再結(jié)合詹森不等式得上式 . 另一方面，通過將不等式的各部分同時(shí)取對(duì)數(shù)可將右邊的不等式變?yōu)? ? ? n xxxxxxn nn ?? ?????? 2121 lnlnlnln1 那么可以通過函數(shù) ? ? xxg ln? 為 ? ???,0 上的凹函數(shù)再結(jié)合詹森不等式得上式． 證明 (1) 設(shè) ? ? ? ?0ln ??? xxxf , 則 ? ? xxf 139。 ????pfxf, 同樣由引理 2 可得 ??xf 單調(diào)遞減 , 則 ? ? ? ? 00 ?? fxf , 因此 ? ? 0)1(1 11 ????? pp xxxf 在區(qū)間 ? ?1,0 上恒成立 . 4 令 bax? 得 10,01111????????? ????????? bababa pp 等式兩邊同時(shí)乘以 b 得 0)( 111 ???? ppp abab 綜上所述 當(dāng) 1?p , ba??0 時(shí) , ppp abab 111 )( ??? 用微分中值定理證明不等式 微分 中值定理適合證明函數(shù) ??xf 與其導(dǎo)函數(shù)之間的不等式 ， 若觀察不等式出現(xiàn) ??xf39。!239。 ?xf 或 ? ? 039。 ?????? ??????????? ????????? ?? baxfbaxbaf ?,? 在 x 與 2b? 之間 . 所以 ? ? ? ?? ?? ?????? ????????? ???????? ??bababa dxbaxfdxbaxbafdxxf 22212239。 (2) ??xf 在開區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)可導(dǎo) , 則在 ? ?ba, 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ? , 使得 ? ? ? ? ? ? ? ?abfafbf ???? ?39。139。 的形式得：極值的可能點(diǎn)為 0?t , ??t . 那么當(dāng) nt? 時(shí) , ??tf 的最小值只能在 0?t , ??t , nt? , ???t 中取到 . 而 ?? 00?f ? ? 1112 ???????? ????? nnnennnfnn ? ? ??????????