【正文】 ?????niinii XEXE11)(][:推廣2( 5 , 10 )3 5 .XNY X E Y??已 知 隨 機(jī) 變 量 ，求 的 數(shù) 學(xué) 期 望5,( 3 5 ) 3 5 20X EXEY E X EX?? ? ? ? ?由 于 服 從 正 態(tài) 分 布 ， 則所 例 求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望 若 X表示 n重貝努里試驗(yàn)中的“成功” 次數(shù) X~B(n, p)， 設(shè) 則 X= X1+X2+…+ Xn ????次試驗(yàn)失敗如第次試驗(yàn)成功如第iiX i01i=1,2， … ， n 可見服從參數(shù)為 n和 p的二項(xiàng)分布 的隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)期望是 np. = np 因?yàn)? P(Xi =1)= p, P(Xi =0)= 1p ??niiXE1)(所以 E(X)= E(Xi)= )1(01 pp ????= p 一臺(tái)設(shè)備由三部分構(gòu)成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為 ,和 。假設(shè)每臺(tái)部件的狀態(tài)是相互獨(dú)立的。 (3) E(X+Y) = E(X)+E(Y)。 (2)以 X 表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù)，試求 X 的數(shù)學(xué)期望。 (2) 若 C是常數(shù)，則 E(CX)=CE(X)。 設(shè) 則 X= X1+X2+X3 ????個(gè)不需調(diào)整如第個(gè)需調(diào)整如第iiX i01i=1,2,3 EX= EX1+EX2+EX3 方差 我們已經(jīng)介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征 . 但是在一些場合，僅僅知道平均值 是不夠的 . 引例 甲、乙兩射手各打了 6 發(fā)子彈 , 每發(fā)子彈擊中的環(huán)數(shù)分別為： 甲 10, 7, 9, 8, 10, 6, 乙 8, 7, 10, 9, 8, 8, 問哪一個(gè)射手的技術(shù)較好？ 解 首先比較平均環(huán)數(shù) 甲 = , 乙 = 有五個(gè)不同數(shù) 有 四 個(gè) 不 同 數(shù) 再比較穩(wěn)定程度 )()()()()(222222???????????甲 ： 乙 ： )()(3)()(2222?????????乙比甲技術(shù)穩(wěn)定，故乙技術(shù)較好 . 為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征 ,用它來度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度 . 這個(gè)數(shù)字特征就是我們要介紹的 方差 若 E [X E(X)]2 存在 , 則稱其為隨機(jī) 稱 )( XD為 X 的 均方差 或 標(biāo)準(zhǔn)差 . 1. 方差概念 定義 即 D (X ) = E [X E(X)]2 變量 X 的 方差 , 記為 D (X ) 或 V (X ) D(X ) —— 描述 . X 的取值偏離平均值 的平均偏離程度 ?,2,1,)( ??? kpxXP kk若 X 為離散型 .，分布律為 ? ???????12)()(kkk pXExXD若 X 為連續(xù)型 . ，概率密度為 f (x) ? ? dxxfXExXD )()()( 2? ??????由定義知，方差是隨機(jī)變量 X的 函數(shù) g(X)=[XE(X)]2的數(shù)學(xué)期望 . )()()( 22 XEXEXD ??計(jì)算方差的一個(gè)簡化公式 展開 證： D(X)=E[XE(X)]2 =E{X22XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)[E(X)]2 期望性質(zhì) ).( XD求例 2 2 222( ) ,( ) ( 2) 2 ,( ) ( ) [ ( ) ] .EXEXD X E X E X??? ? ? ? ? ?? ? ?X 2 0