高二數(shù)學(xué)圓錐曲線的綜合應(yīng)用(專業(yè)版)
【正文】 2 ，而點(diǎn) M在第一象限， ∴ M(2 ， 216x 212y 12MFMN 123216x212y3 3 3)變式 1－ 1 已知點(diǎn) P為拋物線 y2＝ 4x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) F為拋物線的焦點(diǎn)， M(2,1)，求使 PF＋ PM取得最小值時(shí)的 P點(diǎn)坐標(biāo) 解：容易判斷點(diǎn) M(2,1)在拋物線內(nèi)部，過(guò)點(diǎn) P向拋物線的準(zhǔn)線 x=1作垂線，垂足為 Q，由拋物線的定義知 PQ=PF，則 PF+PM=PQ+PM，只要 Q、P、 M三點(diǎn)共線， PF+PM就取得最小值，所以 所求 P點(diǎn)坐標(biāo)為 1,14??????【 例 2】 一動(dòng)圓 C與定圓 A： x2＋ y2－ 6x－91＝ 0相切，且圓 C過(guò)點(diǎn) B(－ 3,0)，求動(dòng)圓圓心 C的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么樣的曲線． 題型二 有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的軌跡和軌跡方程的求解問(wèn)題 分析：根據(jù)題意判斷兩圓相內(nèi)切還是外切，再利用兩圓相切的充要條件建立等式，根據(jù)定義法確定曲線的類型，并寫出曲線方程． 解：設(shè)動(dòng)圓圓心為 C(x， y)，半徑為 r，將圓 A的方程配方得： (x3)2+y2=100，由于點(diǎn) B(3,0)在圓 A的內(nèi)部，故動(dòng)圓 C與定圓 A內(nèi)切，且動(dòng)圓 C在定圓 A的內(nèi)部，所以 CA=10r， CB=r，兩式的兩邊分別相加，得CA+CB=10，由橢圓定義知點(diǎn) C的軌跡是焦點(diǎn)為A(3,0)、 B(3,0)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于 10的橢圓，并且橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上， ∴ 2c=6,2a=10，∴ c=3， a=5， ∴ b2=259=16， ∴ 圓心 C軌跡方程為 + =1，軌跡是橢 圓． 225x 216y變式 2－ 1 例 2中的問(wèn)題若改為：已知點(diǎn) P在定圓 O的圓內(nèi)或圓上，動(dòng)圓 C過(guò)點(diǎn) P且與定圓 O相切，討論動(dòng)圓 C的圓心的軌跡形狀，情況怎樣呢？ 解： 由于點(diǎn) P的位置不同，動(dòng)圓 C的圓心會(huì)有不同的軌跡形狀，所以要分幾種情況討論．設(shè)定圓 O的半徑為 R，動(dòng)圓 C的半徑為 r.① 若點(diǎn) P與 O重合 (如圖 1)，動(dòng)圓 C的圓心的軌跡是以 O為圓心， R為半徑的圓； ②若點(diǎn) P在圓 O內(nèi)且與 O不重合 (如圖 2)，則CP=r， CO=Rr，所以 CP+CO=ROP，所以動(dòng)圓 C的圓心的軌跡是以 O、 P為焦點(diǎn)， R為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓； ③若點(diǎn) P在圓 O上 (如圖 3)，則動(dòng)圓 C的圓心的軌跡是直線 OP(除去點(diǎn) O和點(diǎn) P)． 12圖 1 圖 2 圖 3 【 例 3】 (2020遼寧 )設(shè)橢圓 C： (ab0)的右焦點(diǎn)為 F，過(guò)點(diǎn) F的直線與橢圓 C相交于 A， B兩點(diǎn)，直線 l的傾斜角為60176。 ， 2
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