【正文】 圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系 167。 ? ? ????V S SdAdVA ???應(yīng)用： 》 將一個封閉面積分變成等價的體積分 》 將一個體積分變成等價的封閉面積分 開復(fù)課件網(wǎng) 證明： 散度定理 ? ? ????V S SdAdVA ???證： 將閉合曲面 S包圍的體積 V分成許多小體積元 dVi (i=1~n)，計算每個體積元的小封閉曲面 Si上的通量，再疊加。 標(biāo)量場方向?qū)?shù) (標(biāo)量 )Directional Derivative 設(shè) M0是標(biāo)量場 φ=φ(M)中的一個已知點 ， 從 M0出發(fā)沿某一方向引一條射線 l, 在 l上 M0的鄰近取一點 M，MM0=ρ， 若當(dāng) M趨于 M0時 (即 ρ趨于零時 ) 0( ) ( )MM??????? ?的極限存在 ， 稱此極限為函數(shù) φ(M) 在點 M0處沿 l方向的方向?qū)?shù) ， 記為 000( ) ( )limMMMMMl??????? ??開復(fù)課件網(wǎng) 結(jié)論： 0Ml???)(M? 0M l? 方向?qū)?shù) 是函數(shù) 在點 處沿方向 對距離的變化率 0l?? ??表明 M0處函數(shù) Φ 沿 l 方向增加，反之減小 ? 若函數(shù) φ=φ(x, y, z)在點 M0(x0, y0, z0)處可微， cosα、cosβ、 cosγ為 l方向的方向余弦，則函數(shù) φ在點 M0處沿 l方向的方向?qū)?shù)必定存在，且為 0c o s c o s c o sMl x x z? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?開復(fù)課件網(wǎng) 證明： M點的坐標(biāo)為 M(x0+Δx, y0+Δy, z0+Δz)，由于函 數(shù) φ在 M0處可微，故 0( ) ( )M M x y zx y z? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?兩邊除以 ρ，可得 x y zx y z? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?當(dāng) ρ趨于零時對上式取極限，可得 c o s c o s c o sl x y z? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?c o s c o s c o sx y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?開復(fù)課件網(wǎng) 解： l方向的方向余弦為 1 2 2c os c os c os3 3 3? ? ?? ? ?2222 2 ( ),u x u t u x yx z y z z z? ? ? ? ?? ? ?? ? ?c o s c o s c o su u u ul x y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?1 2 2 2 2113 3 3 4 3Ml?? ? ? ? ? ? ? ??而 數(shù)量場在 l 方向的方向?qū)?shù)為 點 M處沿 l方向的方向?qū)?shù) 2221 2 2 2 23 3 3x y x yzz z?? ? ?例 13 求數(shù)量場 在點 M(1, 1, 2)處沿 方向的方向?qū)?shù) 22xyuz??22x y zl e e e? ? ?開復(fù)課件網(wǎng) 167。 開復(fù)課件網(wǎng) ? 場的屬性： 占有一定空間，且在該空間區(qū)域內(nèi)，除有限個點和表面外，其物理量處處連續(xù) ? 場的分類 》 按與時間的關(guān)系分： 靜態(tài)場 /時變場，各處物理量是否隨時間變化 》 按與方向關(guān)系分： 標(biāo)量場 /矢量場，各處物理量是標(biāo)量還是矢量 開復(fù)課件網(wǎng) 矢量代數(shù) ? 空矢或零矢： 一個大小為零的矢量 ? 單位矢量： 一個大小為 1的矢量，在直角坐標(biāo)系中，用單位矢量表征矢量分別沿 x， y， z軸分量的方向。 矢量場的環(huán)量和旋度 167。 圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系 167。 矢量的表示方法 AA eA? e? 矢量一般表示： ， A為矢量 的大小， 為方向 x y ze e e、 、開復(fù)課件網(wǎng) x y zr e X e Y e Z? ? ?x x y y z zA e A e A e A? ? ?? ? 12222x y zA A A A? ? ?? 任一矢量可以表示為： r? 位置矢量： 從原點指向空間任一點 P的矢量 位置矢量能夠由它在三個相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定。 標(biāo)量場的梯度 (矢量 ) gradient 在直角坐標(biāo)系中 x y zg r a d G e e ex y z? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?梯度的定義： 在標(biāo)量場 中的一點 M處 ， 其 方向 為函數(shù) 在 M點處變化率最大的方向 ， 其 模 又恰好等于最大變化率的矢量 ， 稱為標(biāo)量場 在 M點處的梯度 ， 用 表示 。由散度定義有： VSdAA SV ????? ??????0l i m可得： )~()( niVASdA iS ii?????? ???由于相鄰體積元有一個公共表面，兩體積元在公共 表面上的通量 等值異號 ，求和時互相抵消。 圓柱坐標(biāo)系 ????????zzyx????s i nco s 002z???? ? ???? ? ? ? ?zeee??? ????zezer??? ????c o s sin( sin ) c o sxyxyzze e ee e eee????????? ? ??開復(fù)課件網(wǎng) 直角坐標(biāo)系與圓柱坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系 》 直角坐標(biāo)系 ?圓柱坐標(biāo)系 》 圓柱坐標(biāo)系 ?直角坐標(biāo)系 ????????????????????????????????zyxz eeeeee??????1000c oss i n0s i nc os?????????????????????????? ????????????zzyxeeeeee????????????1000c oss i n0s i nc os開復(fù)課件網(wǎng) , zd l d d l d d l d z?? ? ? ?? ? ?1 2 31 , , 1zd l d l dlh h hd d d z?? ?? ? ? ? ? ?zzzzd S d l d l d d zd S d l d l d d zd S d l d l d d zd V d l d l d l d d d z??????????????? ? ?????????對任意增量 dρ、 dφ 、 dz， P點位 置沿 ρ、 φ 、 z方向的 長度增量 為： 拉梅系數(shù) （ 各方向的長度增量 與各自坐標(biāo)增量之比 ）為： 面積元與體積元為： 1ze e ez??? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?2222 2 211z?? ? ?????? ? ? ?? ? ? ????? ????開復(fù)課件網(wǎng) 167。 例 111的另一種解法 開復(fù)課件網(wǎng) ()c dd? ? ? ? ?? lA A S? ?0 ?l im r o tc nS dS?? ? ???? Α l Ae由旋度的定義 對于有限大面積 s，可將其按如圖方式進行分割，對每一小面積元有 : c)????1 1()c dd? ? ? ? ?? lA A S2 2()c dd? ? ? ? ?? lA A S()s d? ? ?? ASc d?? lA斯托克斯定理的證明： ＝ 得證！ 開復(fù)課件網(wǎng) P19作業(yè) P19 1－ 6 1－ 7 111 開復(fù)課件網(wǎng) 開復(fù)課件網(wǎng) 167。 散度定理（高斯散度定理） 散度定理： 矢量場散度的體積分等于該矢量穿過包圍該體積的封閉曲面的總通量。 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)和梯度 167。如電場、磁場、流速場等。 矢量場的通量和散度 167。 亥姆霍茲定理 開復(fù)課件網(wǎng) 本章要點 》 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)和梯度 》 矢量場的通量和散度 》 矢量場的環(huán)量和旋度 》 亥姆霍茲定理 開復(fù)課件網(wǎng) 167。 直角坐標(biāo)系中點 P(X,Y,Z)的位置矢量表達式為： 開復(fù)課件網(wǎng) 結(jié)論： 若兩不為零矢量的點積為零，則兩矢量互相垂直 數(shù)學(xué)知識補充 —— 矢量的代數(shù)運算 ? 求和差 》 作圖法： 平行四邊形法則 》 分量法： ? 求點積 （標(biāo)量積、內(nèi)積） 公式： 特點： 直角坐標(biāo)系中： ( ) ( ) ( )x x x y y y z z zA B e A B e A B e A B? ? ? ? ? ? ?c o sA B A B ??? A B B A? ? ?0x y y z x ze e e e e e? ? ? ? ? ? 1x x y