【正文】 銀川二模 ) 將一骰子拋擲兩次，所得向上的點數分別為 m 和 n ，則函數 y ＝23mx3－ nx ＋ 1 在 [1 ，＋ ∞ ) 上為增函數的概率是 ( ) A.12 B.56 C.34 D.23 解析： 由題可知，函數 y ＝23mx3－ nx ＋ 1 在 [1 ，＋ ∞ ) 上單調遞增，所以 y ′ ＝ 2 mx2－ n ≥ 0 在 [1 ，＋ ∞ ) 上恒成立，所以2 m ≥ n ，則不滿足條件的 ( m ， n ) 有 ( 1,3) ， ( 1,4) ， ( 1,5) ， ( 1,6) ，( 2,5) ， ( 2,6) 共 6 種情況，所以滿足條件的共有 30 種情況，則函數 y ＝23mx3－ nx ＋ 1 在 [1 ，＋ ∞ ) 上單調遞增的概率為 P ＝3036＝56，故選 B. 答案： B ( 理 ) ( 201 1 東北三省四市聯(lián)考 ) 在棱長為 2 的正方體內隨機取一點，取到的點到正方體中心的距離大于 1 的概率為________ ． 解析： 依題意得，該正方體的體積為 23＝ 8. 在棱長為 2的正方體內隨機取一點，取到的點到正方體中心的距離大于 1的點是位于 以正方體的中心為球心、 1 為半徑的球的外部的點( 注意到該球恰好是該正方體的內切球 ) ．因此，所求的概率等于8 －43π 138＝ 1 －π6. 答案： 1 －π6 ( 理 ) ( 2022 浙江文， 12) 從邊長為 1 的正方形的中心和頂點這五個點中，隨機 ( 等可能 ) 取兩點，則該兩點間的距離為22的概率是 ________ ． [ 答案 ] 25 [ 解析 ] 從五個點中隨機取兩點共 10 種取法．由圖可知兩點間的距離為22的是中心和四個頂點組成的 4 條線段，故概率為 P＝410＝25，概率問題一定要弄明白概率模型． 三、解答題 3 ． ( 文 ) 設平面向量 am＝ ( m, 1) ， bn＝ (2 ， n ) ，其中 m ， n ∈{1,2,3,4} ． ( 1) 請列出有序數組 ( m ， n ) 的所有可能結果； ( 2) 記 “ 使得 am⊥ ( am－ bn) 成立的 ( m ， n ) ” 為事件 A ，求事件 A 發(fā)生的概率． [ 解析 ] ( 1) 有序數組 ( m ， n ) 的所有可能結果為： ( 1,1) ( 1,2) ( 1,3 ) ( 1,4) ( 2,1) ( 2,2) ( 2,3) ( 2,4) ( 3,1) ( 3,2 ) ，( 3,3) ( 3,4) ( 4,1 ) ( 4,2) ( 4,3) ( 4,4) 共 16 個． ( 2) 由 am⊥ ( am－ bn) 得 m2－ 2 m ＋ 1 － n ＝ 0 ， 即 n ＝ ( m － 1)2 由于 m ， n ∈ {1,2,3,4} ，故事件 A 包含的基本事件為( 2,1) ( 3,4) ，共 2 個．又基本事件的總數為 16 ，故所求的概率為 P ( A ) ＝216＝18. ( 理 ) ( 201 1 海南五 校聯(lián)考 ) 一汽車廠生產 A 、 B 、 C 三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產量如下表( 單位：輛 ) ； 轎車 A 轎車 B 轎車 C 舒適型 100 150 z 標準型 300 450 600 按類用分層抽樣的方法在這個月生產的轎車中抽取 50輛，其中有 A 類轎車 10 輛． ( 1) 求 z 的值； ( 2) 用分層抽樣的方法在 C 類轎車中抽取一個容量為 5 的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取 2 輛，求至少有 1輛舒適型轎車的概率． [ 解析 ] ( 1) 解法 1 ：設該廠這個月共生產轎車 n 輛， 由題意得50n＝10100 ＋ 300，所以 n ＝ 2022 ， 則 z ＝ 2022 － ( 100 ＋ 300 ＋ 150 ＋ 450 ＋ 600) ＝ 400. 解法 2 ：這個月該汽車廠共生產轎車 ( 1600 ＋ z ) 輛，其中 A類轎車 400 輛， 由題意知，501600 ＋ z＝10400， ∴ z ＝ 400. ( 2) 設所抽樣本中有 a 輛舒適型轎車． 由題意 4001000＝a5， ∴ a ＝ 2. 因此抽取的容量為 5 的樣本中，有 2 輛舒適型轎車， 3 輛標準型轎車． 用 A1， A2表示 2 輛舒適型轎 車，用 B1， B2， B3表示 3 輛標準型轎車，用 E 表示事件 “ 在該樣本中任取 2 輛，其中至少有 1 輛舒適型轎車 ” ， 則基本事件空間包含的基本事件有： ( A1， A2) ， ( A1， B1)