【正文】 他對(duì)有關(guān)二項(xiàng)式定理系數(shù)的恒等式也進(jìn)行了深入研究，曾取各家級(jí)數(shù)論之長(zhǎng)，歸納出以他的名字命名的 “ 李善蘭恒等式 ” 。若 f（ x） ≤ g（ x） , 則 ][ bax ，?dxxgdxxf baba ?? ? ）（）（ 定理 6（定積分的絕對(duì)值不等式） 若 f（ x）在 [a， b]上可積，則 在 [a， b]上也可積，且 ）（ xfdxxfdxxf baba ?? ? ）（）（））（（）（ abfdxxfba ??? ?定理 7（積分中值定理）若函數(shù) f（ x）在 [a， b]上連續(xù)，則在 [a， b]上至少存在一點(diǎn) ，使得 ?作業(yè) 必作題： 用定積分的定義計(jì)算 選作題： 習(xí)題 6第一題。 （二）教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：定積分的概念和性質(zhì)、微積分基本定理、定積分的換元積分法和分部積分法、定積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用。 定理 3 （對(duì)積分區(qū)間的可加性）有界函數(shù) f（ x） 在 [a， c]、 [c， b] 上都可積的充要條件是 f（ x） 在[a， b] 上可積，且 定理 2 若 f（ x）、 g（ x） 在 [a， b] 上可積，則 f（ x） 177。 平面圖形的面積 由截面面積求立體體積 平面圖形的面積 一般地，求由兩條連續(xù)曲線 y=f（ x）（ x≥0）及直線x=a， x=b（ a＜ b）所圍成的平面圖形的面積，如圖（圖 ）所示 ,可在區(qū)間 [a，b ]內(nèi)任取兩點(diǎn) x， x+dx, 作出圖中的陰影矩形 ,則面積微元為 ，）（）（ dxxgxfdS ][ ??? ?? ba dxxgxfS .][ ）（）（x y o a b x x+dx y=f(x) y=g(x) 圖 于是所求面積為 例 1 求由正弦曲線 y=sinx 與直線 x=0， y=0及 x= 所圍成圖形的面積 . 23?.3co sco ss i ns i ns i n230230 023??????? ? ? ????????xxx d xx d xdxxS23?o x y y=sinx ? ?2圖 首先畫草圖 (圖 ), 解 其面積為 例 2 求拋物線 與直線 x2y3=0所圍的平面圖形的面積 . xy ?2求出拋物線與直線的交點(diǎn) P（ 1， 10與 Q（ 9， 3） ,把平面圖形分成 兩部分 , 21 SS，）（，）（32823342][91210101????????????dxxxSdxxdxXXS.3323283421 ????? SSS1 o s1 S 2 p 9 1 x y 圖 解 首先畫草圖 (圖 ), 則有 于是 由截面面積求立體體積 設(shè) 為一空間立體 ,它夾在垂直于x軸的兩平面 x=a 及 x=b之間（ a＜b） (圖 ),求其體積 法導(dǎo)出由截面面積函數(shù)求空間立體體積的公式 . ?在 [a， b] 內(nèi)任取相鄰兩點(diǎn) x 與 x+dx,過(guò)這兩點(diǎn)分別作垂直于 x軸的平面 ,則從 上截出一薄片 .設(shè) x 處截面面積函數(shù)為 A(x ),由于 A(x ) 的連續(xù)性 ,當(dāng) dx 很小時(shí) ,以底面積為 A(x ), 高為 dx 的薄柱體體積就是體積微元 dV=A（ x） dx. ? 它是薄片的體積 △ V 的近似值 ,即△ V ≈dV=A(x)dx .dxxAV ba?? ）（從而有 例 3 求橢圓 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的橢球的體積 V. 12222 ?? by