高三數(shù)學(xué)數(shù)列的求和(專業(yè)版)
【正文】 (2)令 bn=an?3n, 求數(shù)列 {bn} 前 n 項和的公式 . 解 : (1)設(shè)數(shù)列 {an} 的公差為 d, 則由已知得 3a1+3d=12, ∴ d=2. ∴ an=2+(n1)?2=2n. 故數(shù)列 {an} 的通項公式 為 an=2n. (2)由 bn=an?3n=2n?3n 得數(shù)列 {bn} 前 n 項和 Sn=2?3+4?32+… +(2n2)?3n1+2n?3n ① ∴ 3Sn=2?32+4?33+… +(2n2)?3n+2n?3n+1 ② 將 ① 式減 ② 式得 : 2Sn=2(3+32+… +3n)2n?3n+1=3(3n1)2n?3n+1. ∴ Sn= +n?3n+1. 3(13n) 2 又 a1=2, (2) 中“ bn=an?3n ” 改為“ bn=an?xn(x?R)”, 仍求 {bn} 的前 n 項和 . 解 : 令 Sn=b1+b2+… +bn, 則由 bn=an?xn=2nxn 得 : Sn=2x+4x2+… +(2n2)xn1+2nxn ① ∴ xSn=2x2+4x3+… +(2n2)xn+2nxn+1 ② 當(dāng) x?1 時 , 將 ① 式減 ② 式得 : (1x)Sn=2(x+x2+… +xn)2nxn+1= 2nxn+1. 2x(1xn) 1x ∴ Sn= . 2x(1xn) (1x)2 2nxn+1 1x 當(dāng) x=1 時 , Sn=2+4+… +2n=n(n+1)。n+2n+2 (3)設(shè) q≠ 1, Sn是 {an}的前 n 項和 , 求 S1CnS2Cn+S3CnS4Cn+ … +(1)nSn+1Cn. 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 n (1)證 : 由已知 S1=a1=a, Sn=aqn1, 當(dāng) n≥ 2 時 , an=SnSn1=aqn1aqn2=a(q1)qn2. ∴ 在 {an}中 , 從第 2 項開始成等比數(shù)列 . {an} 中 , a1=a, 前 n 項和 Sn 構(gòu)成公比為 q(q?1) 的等比數(shù)列 . (1)求證 : 在 {an}中 , 從第 2 項開始成等比數(shù)列 。(n2)+… +n數(shù)列的求和 數(shù)列求和的方法 將一個數(shù)列拆成若干個簡單數(shù)列 , 然后分別求和 . 將數(shù)列相鄰的兩項 (或若干項 )并成一項 (或一組 )得到一個新數(shù)列 (容易求和 ). 一、 拆項求和 二、 并項求和 例 求和 Sn=1 2+2 3+… +n(n+1). 例 求和 Sn=12+34+56+… +(1)n+1(n1)+3 (2)當(dāng) a=250, q= 時 , 設(shè) bn=log2|an|, 求 |b1|+|b2|+… +|bn|. 1 2 an+1 an ∵ = =q(n≥ 2), a(q1)qn2 a(q1)qn1 (2)解 : 由 (1)知 an= a, n=1, a(q1)qn2, n≥ 2. 當(dāng) a=250, q= 時 , b1=log2|a1|=log2250=50, 1 2 n≥ 2 時 , bn=log2|an|
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