uwtaaa113三個正數(shù)的算術--幾何平均不等式-課件(人教a選修4-5)(專業(yè)版)
【正文】 ( 2 － 2 x ) 12 ≤12 ????????x ＋ x ＋ 2 － 2 x33＝12827＝427. 當且僅當 x ＝ 2 － 2 x ，即 x ＝23時取等號． 此時， yma x＝427. [研一題 ] [ 例 2] 設 a 、 b 、 c ∈ R ＋ ，求證： ( 1) (1a2 ＋1b2 ＋1c2 )( a ＋ b ＋ c )2≥ 27 ； ( 2) ( a ＋ b ＋ c )(1a ＋ b＋1b ＋ c＋1a ＋ c) ≥92. [精講詳析 ] 本題考查平均不等式的應用，解答本題需要先觀察求證式子的結構，然后通過變形轉化為用平均不等式證明的問題． ( 1) ∵ a ， b ， c ∈ R ＋ ， ∴ a ＋ b ＋ c ≥ 33abc ＞ 0 ， 從而 ( a ＋ b ＋ c )2≥ 93a2b2c2＞ 0 ， 又1a2 ＋1b2 ＋1c2 ≥ 331a2b2c2 ＞ 0 ， ∴ (1a2 ＋1b2 ＋1c2 )( a ＋ b ＋ c )2 ≥ 331a2b2c2 93a2b2c2＝ 27. 當且僅當 a ＝ b ＝ c 時，等號成立． ( 2) ∵ a ， b ， c ∈ R ＋ ， ∴ ( a ＋ b ) ＋ ( b ＋ c ) ＋ ( c ＋ a ) ≥ 33? a ＋ b ?? b ＋ c ?? c ＋ a ? ＞ 0 ， 1a ＋ b＋1b ＋ c＋1a ＋ c≥ 331a ＋ b x 1b ＋ c x (1 － x ) ＝ x 1a ＋ c＞ 0 ， ∴ ( a ＋ b ＋ c )(1a ＋ b＋1b ＋ c＋1a ＋ c) ≥92. 當且僅當 a ＝ b ＝ c 時，等號成立． [悟一法 ]
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