【正文】 【解析】（Ⅰ）因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，因?yàn)锳B是圓O直徑，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面?！鄋=（1，1，1）設(shè)面PBC的法向量為）∴令∴m=（1，－1，－1）。 ………………文8分，理6分②連結(jié)PO，由三視圖，PO⊥面ABCD，所以AO⊥PO。（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）設(shè)AB=，在圓柱內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于三棱柱內(nèi)的概率為。練習(xí)4．如圖（甲），在直角梯形ABED中，AB//DE，ABBE，ABCD,且BC=CD,AB=2,F、H、G分別為AC ,AD ,DE的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ACD沿CD折起，使平面ACD平面CBED,如圖（乙）．（1）求證：平面FHG//平面ABE；（2）記表示三棱錐B－ACE 的體積，求的最大值；（3）當(dāng)取得最大值時(shí)，求二面角D－AB－C的余弦值．解：（1）證明：由圖（甲）結(jié)合已知條件知四邊形CBED為正方形如圖（乙）∵F、H、G分別為AC , AD,DE的中點(diǎn)∴FH//CD, HG//AE1分∵CD//BE ∴FH//BE∵面，面∴面3分同理可得面又∵ ∴平面FHG//平面ABE4分（2）∵平面ACD平面CBED 且ACCD ∴平面CBED5分∴＝＝∵ ∴（）∴＝＝7分解法1：∵∴,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“＝”∴的最大值為9分[解法2：∵，令得（不合舍去）或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)∴當(dāng)時(shí)有最大值，]（3）解法1：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如右圖示：由（2）知當(dāng)取得最大值時(shí)，即BC=這時(shí)AC=,∴,10分∴平面ACB的法向量設(shè)平面ABD的法向量為∵,11分由,得，令得12分設(shè)二面角D－AB－C為，則14分[解法2：由（2）知當(dāng)取得最大值時(shí)，即BC=這時(shí)AC=，從而過(guò)點(diǎn)C作CMAB于M，連結(jié)MD∵ ∴面∵面∴ ∴面∵面 ∴∴是二面角D－AB－C的平面角由得＝∴在Rt△MCD中] [解法3：設(shè)二面角D－AB－C為,∵且 ∴面∴△ABC為△ABD在面ABC上的投影∵≌ ∴,又∵O為BD的中點(diǎn) ∴ ∵∴＝∵, ∴=.]練習(xí)5：如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB為直角，AB‖CD，AD=CD=2AB, E、F分別為PC、CD的中點(diǎn).（Ⅰ）試證：CD平面BEF；（Ⅱ）設(shè)PA＝kABCDOO1ABOCO1DABOCO1Dxyz（I）證明 由題設(shè)知OA⊥OO1，OB⊥OO1. 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OA⊥OB. 故可以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OO1 所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 如圖3，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是A（3，0，0）， B（0，3，0），C（0，1，）圖3 O1（0，0，）. 從而 所以AC⊥BO1. （II）解：因?yàn)樗訠O1⊥OC，由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一個(gè)法向量.設(shè)是0平面O1AC的一個(gè)法向量，由 得. 設(shè)二面角O—AC—O1的大小為，由、的方向可知，ABOCO1D 所以cos，= 即二面角O—AC—O1的大小是解法二（I）證明 由題設(shè)知OA⊥OO1，OB⊥OO1， 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，圖4 即OA⊥OB. 從而AO⊥平面OBCO1， OC是AC在面OBCO1內(nèi)的射影. 因?yàn)? ， 所以∠OO1B=60176。2,4,6解：（Ⅰ）該幾何體的直觀圖如圖所示。所以二面角的余弦值為（Ⅱ）解：設(shè), 因?yàn)榉酆?，與重合，所以，而，