【正文】 2abcd ＝ 4abcd. 故原不等式得證，等號成立的條件是 a2＝ b2且 c2＝ d2且 a2b2＝c2d2. 【 方法點評 】 等式的一種情況，其實質(zhì)就是從已知的不等式入手，借助不等式性質(zhì)和基本不等式，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推得所證問題，其特征是“由因?qū)Ч保? ∴1a ＋1b ≥ 4( 當且僅當 a ＝ b ＝12 時等號成立 ) ． 2．證明不等式時要注意靈活變形，多次利用基本不等式時，注意每次等號是否都成立．同時也要注意應(yīng)用基本不等式的變形形式． 2 ． 已知 x 0 ， y 0 ， z 0 . 求證 ： ??????yx＋zx ??????xy＋zy ??????xz＋yz≥ 8. 【證明】 ∵ x 0 ， y 0 ， z0 ， ∴yx＋zx≥2 yzx0 ， xy＋zy≥2 xzy0 ， xz＋yz≥2 xyz 0 . ∴??????yx＋zx ??????xy＋zy ??????xz＋yz ≥8 yz 第八節(jié) 基本不等式 考綱點擊 . (小 )值問題 . 熱點提示 ，兼顧考查代數(shù)式變形、化簡能力，注意 “一正、二定、三相等 ” 的條件 . ，可出選擇題、填空題，也可出以函數(shù)為載體的解答題 . ，與其他知識結(jié)合在一起來考查基本不等式，證明不會太難．但題型多樣，涉及面廣 . 基本不等式 不等式成立的條件 等號成立的條件 1．基本不等式 ab ≤ a ＋ b2 a0， b0 a＝ b (1)a2＋ b2≥ (a， b∈R ) ( 2 ) a b ≤??????a ＋ b22(a ， b ∈ R ) ( 3 )a2＋ b22≥??????a ＋ b22(a ， b ∈ R ) ( 4 )ba＋ab≥ 2 (a ， b 同號且不為零 ) 3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè) a0， b0，則 a， b的算術(shù)平均數(shù)為 ，幾何平均數(shù)為 ，基本不等式可敘述為： ． a ＋ b2 ab 兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．2ab 4．利用基本不等式求最值問題 已知 x0， y0，則 (1)如果積 xy是定值 p，那么當且僅當 時， x＋ y有 值是 2 .(簡記：積定和最小 ) (2)如果和 x＋ y是定值 ，那么當且僅當 時， xy有 值是 .(簡記：和定積最大 ) p p24 x＝ y 最小 x＝ y 最大 1．下列結(jié)論中不正確的是 ( ) A． a0時， a＋ ≥ 2 B. ≥2 C． a2＋ b2≥2ab D ． a2＋ b2≥ 【 解析 】 ∵ ≥ 2，只有當 a、 b同號且不為零時成立，故 ≥ 2不一定成立． 【 答案 】 B . ba ＋ ab ba＋ab ba ＋ab (a＋ b)22 1a 2． x ，則 f(x)＝ 4x＋ 的最小值為 ( ) A．－ 3 B． 2 C． 5 D． 7 54 14x － 5 【 解析 】 ∵ f(x)＝ 4x＋ ＝ 4x－ 5＋ ＋ 5， ∵ x ， ∴ 4x－ 50， ∴ 4x－ 5＋ ≥ 2， 故 f(x)≥2 ＋ 5＝ 7，等號成立的條件是 x＝ . 【 答案 】 D 14x － 5 14x － 5 14x － 5 5