【正文】 本文第四章的模型就是基于此種建模思路基礎(chǔ)之上的，并探討了不同的Copula函數(shù)建模方式――靜態(tài)、動態(tài)和馬爾可夫轉(zhuǎn)換Copula函數(shù)的績效。究其原因，主要是因?yàn)閭鹘y(tǒng)多元金融波動模型面臨了兩個嚴(yán)重的難題： （1）隨著金融資產(chǎn)維數(shù)的增加，傳統(tǒng)多元金融波動模型有可能面臨嚴(yán)重的“維數(shù)災(zāi)難”問題，所需估計的模型參數(shù)往往會以幾何倍數(shù)增加，模型估計異常復(fù)雜和費(fèi)時。同理，如果假設(shè)服從不相關(guān)的多元t分布，那么多元GARCH模型就假設(shè)服從如下的多元t分布：~t(,v)。以MSSVNormal模型為例，低于SVNormal模型。從表2－4中可以看出，從DIC指標(biāo)來看，基于t分布假設(shè)的隨機(jī)波動模型績效都優(yōu)于基于正態(tài)分布假設(shè)的模型。（2）隨機(jī)波動模型績效要略好于GARCH模型。從標(biāo)準(zhǔn)化殘差的擬合優(yōu)度KS檢驗(yàn)結(jié)果也可以看出，基于一元正態(tài)分布假設(shè)的GARCH(1,1)Normal模型、EGARCH(1,1)Normal模型和TARCH(1,1)Normal模型在5%的顯著性水平下均未通過KS檢驗(yàn)，而基于一元t分布假設(shè)的各GARCH(1,1)，這說明GARCH(1,1)t模型可以更好地擬合金融資產(chǎn)收益率的分布統(tǒng)計特征。標(biāo)準(zhǔn)化殘差滯后階的Q統(tǒng)計量也較小，這意味著標(biāo)準(zhǔn)化殘差也不再具有顯著的序列自相關(guān)性。圖21 上證指數(shù)日收益率時序圖 （1996年至2006年） 圖22 上證指數(shù)日收益率分布的柱狀圖 表21 上證指數(shù)收益率基本統(tǒng)計特征表指數(shù)均值標(biāo)準(zhǔn)差偏度峰度JB檢驗(yàn)值上證指數(shù)*()()*注：1．*代表在5%的水平下顯著。值得關(guān)注的是，Winbugs需要使用參數(shù)的后驗(yàn)均值計算DIC值，這就需要保證模型迭代結(jié)果要達(dá)到收斂。然而對于SV模型而言，模型中的未知參數(shù)和狀態(tài)過多，這會導(dǎo)致貝葉斯因素的計算相當(dāng)困難與復(fù)雜，特別是當(dāng)維數(shù)較多與樣本數(shù)據(jù)較長時。例如給定，我們可以進(jìn)行如下抽樣： 如果很難直接從和中完全抽樣，例如模型中含有p個未知參數(shù)時，那我們可以利用CliffordHammersley定理按照如下步驟抽樣：1. 抽樣 2. 抽樣 …p．抽樣 p+1. 抽樣 如此重復(fù)迭代G次，這樣就可以產(chǎn)生一個吉布斯樣本，如果G 充分大，那么在一定的條件下參數(shù)會收斂于其真實(shí)分布。而貝葉斯方法將參數(shù)視為一個隨機(jī)變量，所有關(guān)于參數(shù)的推斷都是以概率的形式出現(xiàn)，然后利用貝葉斯公式，從先驗(yàn)分布得到后驗(yàn)分布并利用后驗(yàn)分布進(jìn)行統(tǒng)計推斷。 隨機(jī)波動模型估計的貝葉斯方法 隨機(jī)波動模型的估計方法綜述隨機(jī)波動模型在初期的應(yīng)用范圍遠(yuǎn)沒有ARCH模型族寬廣，主要原因就在于其似然函數(shù)沒有公式解析式，經(jīng)典的極大似然估計方法并不適用于隨機(jī)波動模型。其基本思路是假設(shè)模型參數(shù)隨從某一無法觀測到的狀態(tài)變量變化而變化，而且該狀態(tài)變量的變化服從一個一階的馬爾可夫過程。從這個意義上說，HS模型較JPE模型更符合有效市場理論。但從公式中我們也可以看出，對于SVNormal模型而言，可觀測量為已知的日收益率序列，不可觀測變量為參數(shù)、和以及潛在的對數(shù)波動序列，且服從一個一階的自回歸過程，參數(shù)的聯(lián)合分布形式非常復(fù)雜。在TARCH模型中，對于利好消息，對于波動只有倍的沖擊，而對于利空消息，則有倍的沖擊。在GARCHt模型里，金融資產(chǎn)收益率異常值（大的）的出現(xiàn)即可能是由于波動值增加造成的，也有可能是由于大的所造成。而當(dāng)p=q=0時，GARCH模型就恢復(fù)成為白噪音(white noise)過程。從上述公式中可以看出，在ARCH(q)模型中，收益率的條件方差受兩個因素的影響，一是常數(shù)項(xiàng)，另一個則是前個時刻關(guān)于變化量的信息，用前q時期的殘差平方項(xiàng)的線性組合來表示。在本章余下內(nèi)容我們將分析與比較主要的金融波動模型，并利用中國金融市場的數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究。Christie(1982)利用ModiglianiMiller原理對此問題進(jìn)行了解釋：壞消息的出現(xiàn)會降低公司的股價，這樣就會導(dǎo)致負(fù)債/資產(chǎn)比（也就是金融杠桿比）上升，這顯然會增加公司的財務(wù)風(fēng)險從而加大了持有股票的風(fēng)險，從而使得未來的期望波動值上升。要想準(zhǔn)確對期權(quán)進(jìn)行定價，必須首先準(zhǔn)確了解金融資產(chǎn)的波動特征與規(guī)律。因此在本章中我們將對主要的金融波動模型進(jìn)行研究與比較，這將為我們在以后幾章中聯(lián)合金融波動模型與Copula函數(shù)建模奠定基礎(chǔ)。 金融波動的統(tǒng)計特征分析近年來，隨著金融資產(chǎn)之間聯(lián)系的不斷加深和金融衍生產(chǎn)品的不斷創(chuàng)新，金融資產(chǎn)的波動日益加劇，波動特征也日趨復(fù)雜化與多樣化。Bollerslev, Engle and Nelson(1994)，Rama Cont（2001）和蘇衛(wèi)東（2002）等對此進(jìn)行了總結(jié)和歸納。正是基于此學(xué)者提出了因素ARCH模型（Engle（1987），Diebold and Nerlove (1989)）來解釋金融波動的這種連動性。 一元ARCH模型分析ARCH模型的是自回歸條件異方差模型的英文簡稱，其中的異質(zhì)變異（heteroskedasticity）代表時變方差(time varying variance)，條件的(conditional)代表相依于過去的觀察值的信息，而自回歸（autoregressive）則代表描述一個自回歸機(jī)制，將自身過去的觀察值作為影響現(xiàn)在波動的因素。例如對于ARCH(1)模型，其無條件峰度，其中：。一般而言，如果GARH模型的系數(shù)相對較大而系數(shù)相對較小，則波動傾向于更加尖銳（spiky）。實(shí)踐中GARCH模型殘差分布的另一個常見假設(shè)便是廣義誤差分布（GED）。 一元隨機(jī)波動基本模型分析GARCH模型由于估計相對較為簡便，因此在實(shí)證研究中得到了廣泛應(yīng)用，然而其卻很難嵌入到傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)理論中。 那么殘差項(xiàng)的無條件期望和方差為：對于隨機(jī)波動模型的峰度值指標(biāo)，可參看Bai, Russell amp。同時，我們可以將厚尾分布和杠桿效應(yīng)結(jié)合在一起，構(gòu)建基于厚尾t分布假設(shè)基礎(chǔ)之上的SVHSt模型和SVJPEt模型。國內(nèi)一些學(xué)者如蔣祥林、王春峰和吳曉霖（2004）、丁志國、蘇治、 杜曉宇（2007）等也利用SWARCH模型對中國金融市場進(jìn)行了實(shí)證研究。而Jacquier et al.(1994) ，Anderson et al,(1999)等的研究均表明：MCMC方法較其它方法效果更佳，相對誤差最小，是估計效率最高的方法之一，該結(jié)論也被隨后的研究陸續(xù)證實(shí)。但是，在利用貝葉斯方法進(jìn)行統(tǒng)計推斷時通常需要在高維度的概率分布上計算積分，這往往會遇到較大的計算困難。其主要特征在于引入了接受準(zhǔn)則(acceptance criterions)來確保算法能夠產(chǎn)生正確的條件分布。而言，其對SV模型的估計與比較也不適用。上證指數(shù)的日對數(shù)收益率時序可見圖21。首先估計如下自回歸AR模型：用LjungBox Q統(tǒng)計量考察經(jīng)過自回歸模型過濾后的殘差值，發(fā)現(xiàn)殘差已經(jīng)不存在著顯著的自相關(guān)性，說明用上述模型來刻畫收益率的自相關(guān)特征是恰當(dāng)?shù)?。同時對比上證指數(shù)的收益率時間序列圖（圖21）和GARCH模型估計得到的條件標(biāo)準(zhǔn)差時序圖，我們也可以發(fā)現(xiàn)金融資產(chǎn)的波動具有明顯的聚集現(xiàn)象。在這種背景下，當(dāng)股市受到宏觀經(jīng)濟(jì)或者政策消息面等因素影響下，由于投資者心理不成熟往往會在負(fù)面消息出現(xiàn)時出現(xiàn)非理性拋售，從而加劇股市的下跌；另一方面則與大陸證券市場缺乏作空機(jī)制有關(guān)。那么根據(jù)DIC準(zhǔn)則，可以認(rèn)為一元隨機(jī)波動模型的績效較一元GARCH(1,1)模型更佳。劉鳳芹（2005）、（5）考慮杠桿效應(yīng)的隨機(jī)波動模型績效更加。從實(shí)證結(jié)果來看，一元GARCH(1,1)模型和一元隨機(jī)波動模型較好的描述了金融資產(chǎn)波動的動態(tài)時變、尖峰厚尾、波動聚集、杠桿效應(yīng)和狀態(tài)轉(zhuǎn)換等統(tǒng)計特征，這為我們深入了解與分析金融資產(chǎn)的波動特征進(jìn)而為Copula函數(shù)建模奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)。以二維情況為例，BEKK多元GARCH模型（Engle amp。，而且要求的各邊緣分布也須服從一元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。本文彌補(bǔ)了國內(nèi)研究在此方面的遺漏，并利用MCMC方法估計了各類隨機(jī)波動模型；②利用上海股市數(shù)據(jù)對一元GARCH模型和一元隨機(jī)波動模型進(jìn)行了實(shí)證研究，均發(fā)現(xiàn)：考慮厚尾效應(yīng)和杠桿效應(yīng)的金融波動更適合于描述上海股市的波動特征；③估計了考慮狀態(tài)轉(zhuǎn)換特征馬爾可夫轉(zhuǎn)換隨機(jī)波動模型（MSSV－Normal模型和MSSVt模型），并據(jù)此分析了上海股市的波動轉(zhuǎn)換現(xiàn)象和周期特征。在相關(guān)系數(shù)時，多元正態(tài)分布和正態(tài)Copula函數(shù)的尾部相依指標(biāo)為0，這意味著多元正態(tài)分布和正態(tài)Copula函數(shù)無法刻畫多元金融資產(chǎn)的厚尾相依特征。Asai、Mcaleer amp。與一元GARCH模型和一元隨機(jī)波動模型類似，按照對波動運(yùn)動過程假設(shè)的不同，我們可以將多元金融波動模型分為多元GARCH模型和多元隨機(jī)波動模型。在樣本早期，上海股市的波動非常高，在1996年12月政府干預(yù)股市前后，股市波動值達(dá)到峰值，其后從整體看波動水平逐年降低。(3)上證指數(shù)波動體現(xiàn)出了較強(qiáng)的持續(xù)性。表24 上證指數(shù)一元隨機(jī)波動模型估計結(jié)果 模型參數(shù)上證指數(shù)SVSVHS SVJPR正態(tài)分布*()[,] *()[,]*()[,]*()[,]*()[,]*()[,]*()[,]*()[,]*()[,]*()[,]*()[,] t分布 ()[,]()[,]()[,]*()[,]()[,]()[,]()[,]()[,]()[,] ()[,]()[,]自由度v()[]()[,]()[,] 注： 圓括號內(nèi)數(shù)值代表所估計參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，方括號內(nèi)數(shù)值為估計參數(shù)的95％[%－%]置信區(qū)間。這有可能是沒有考慮在樣本期內(nèi)波動狀態(tài)發(fā)生了結(jié)構(gòu)性變化。這說明上證指數(shù)收益率存在著顯著的ARCH效應(yīng)，這正是我們需要引入金融波動模型如GARCH模型和SV模型來刻畫金融資產(chǎn)波動的原因。JB統(tǒng)計量指標(biāo)可表述如下：，其中T為樣本長度，S和K分別為偏度和峰度（以正態(tài)分布為基準(zhǔn)）。用公式可以表達(dá)如下： （公式222）這里的代表貝葉斯模型的參數(shù)，則代表模型有限參數(shù)的個數(shù)。按照前面討論的一元t分布與一元正態(tài)分布的關(guān)系，我們可以用一個逆伽瑪分布和正態(tài)分布的乘積來代替一元t分布，這樣進(jìn)行的MCMC方法抽樣結(jié)果更加準(zhǔn)確可靠。這樣，MCMC方法就可以將復(fù)雜的聯(lián)合分布分解為其條件分布的集合，而這些條件分布是低維的并且相對容易抽樣，這樣就有效解決了高維的積分問題。正是基于此，在本文中我們對隨機(jī)波動模型的估計均是建立在MCMC方法基礎(chǔ)之上。而馬爾可夫轉(zhuǎn)換過程的概率矩陣P可表示為： （公式216）其中。而波動持續(xù)性的高低對研究金融資產(chǎn)的波動特征和定價具有十分重要的作用。按照模型假定的不同可以其可以分為兩大類：一類是Harvey , Shephard N（1996）提出的模型（簡稱SVHSNormal模型），其可表達(dá)如下： （公式2－11）杠桿效應(yīng)體現(xiàn)在參數(shù)上，當(dāng)時存在著杠桿效應(yīng)。也就是說在隨機(jī)波動模型中，條件方差是一個不可觀測的隨機(jī)過程，這就為描述金融資產(chǎn)的統(tǒng)計特征提供了一個相對更加復(fù)雜但又更合理的建模思路。EGARCH(1,1)Normal模型可表示如下： （公式2－7）杠桿效應(yīng)的存在性可以系數(shù)值進(jìn)行判斷。對于GARCH模型峰度更深入的討論可參看Bai, Rusell amp。GARCH模型的一般形式是GARCH(p,q)，其中p是自回歸項(xiàng)（GARCH項(xiàng)），q是ARCH項(xiàng)，假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化殘差服從正態(tài)分布，那么GARCHNormal模型可表述如下： （公式2－4）同ARCH模型類似，對參數(shù)進(jìn)行上述限制也是為了保證估計得到的方差非負(fù)和模型的平穩(wěn)性。這意味著殘差項(xiàng)的平方會存在著顯著的自相關(guān)及異方差問題。通常認(rèn)為波動的隱含微笑曲線和波動的隨機(jī)特征密切相關(guān)。金融資產(chǎn)的波動往往具有隨時間變化而變化的動態(tài)時變特征，有時候這種變化甚至?xí)喈?dāng)劇烈，而有時則會保持相對穩(wěn)定。投資組合的優(yōu)化問題實(shí)質(zhì)上也是對投資組合的收益――方差優(yōu)化。第二章 金融波動模型分析與應(yīng)用在金融計量經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融時間序列研究中，對金融資產(chǎn)的波動進(jìn)行研究與建摸是非常重要的一個領(lǐng)域。例如，在Markowitz的投資組合理論中，最優(yōu)投資組合的確定依賴于金融資產(chǎn)的方差和協(xié)方差，而投資組合風(fēng)險值（Value at Risk）的計算也與金融資產(chǎn)的波動密切相關(guān)。然而實(shí)踐卻通常表明這種假設(shè)不甚合理。一般而言，隱含波動微笑曲線的存在意味著平價期權(quán)的隱含波動率會比較接近于真實(shí)現(xiàn)貨的波動值，而價外與價內(nèi)期權(quán)的隱含波動率往往偏高，且微笑曲線形態(tài)往往具有一定的非對稱性。事實(shí)上，金融資產(chǎn)收益率的波動往往存在著波動聚集（volatility clustering）現(xiàn)象，即如果本期價格有較大幅度的變化，那么緊接下來的交易日往往也會出現(xiàn)較大幅度的波動。 一元GARCH模型分析為了減少模型的參數(shù)以及放寬對參數(shù)的限制，Bollerslev（1986）提出了GARCH模型，其核心思想是用一個或兩個的滯后值來替代許多的滯后值，這樣不僅可以精簡模型參數(shù)的個數(shù)，而且可以使得條件方差的結(jié)構(gòu)更具一般性。無條件峰度值大于3意味著GARCH(1,1)Normal模型的峰度厚度比正態(tài)分布更厚，可以更好的刻畫金融時間序列的尖峰厚尾特征。GARCH模型族中包括若干種可以描述這種杠桿效應(yīng)的模型，主要包括Nelson(1991)提出的指數(shù)GARCH(Exponential GARCH,EGARCH)模型和Zakoian et al(1993)提出的門限ARCH（Thre