【正文】 s central limit theorem, and so on, has carried on the different levels of discussion.Key Words probability distribution additivity property mutual independence characteristic function引言 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，有時(shí)候我們需要求一些隨機(jī)變量的和的分布，在這些情形中，有一種求和類型比較特殊，即有限個(gè)相互獨(dú)立且同分布的隨機(jī)變量的和的分布類型不變，這一求和過程稱為概率分布的“可加性”.概率分布中隨機(jī)變量的可加性是一個(gè)相當(dāng)重要的概念，本文給出了概率論中常見的六種具有可加性的分布，包括二項(xiàng)分布，泊松分布，正態(tài)分布，伽瑪分布，如二項(xiàng)分布的泊松近似，正態(tài)近似等等.1 幾種常見的具有可加性的分布在討論概率分布的可加性之前，我們先來看一下卷積公式和隨機(jī)變量的特征函數(shù),首先來看卷積公式[1]： ①離散場合的卷積公式 設(shè)離散型隨機(jī)變量彼此獨(dú)立，且它們的分布列分別是和則的概率分布列可表示為 ②連續(xù)場合的卷積公式 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量彼此獨(dú)立，且它們的密度函數(shù)分別是，則它們的和的密度函數(shù)如下 其證明如下： 的分布函數(shù)是 其中為的分布函數(shù)，對上式兩端進(jìn)行求導(dǎo)，則可得到的密度函數(shù)： 即證.在概率分布可加性的證明中，除了卷積公式，我們常用的證明方法還有利用隨機(jī)變量的特征函數(shù).下面我們來討論一下這幾種具有可加性的分布及其可加性證明的過程中卷積公式和特征函數(shù)的應(yīng)用. 二項(xiàng)分布 二項(xiàng)分布的概念 如果記為n次伯努利試驗(yàn)中成功（記為事件A）的次數(shù)，則的可能取值為0，1，2，……，則記為即因n次伯努利試驗(yàn)的基本結(jié)果可以記作 柯西分布[4] 柯西分布的密度函數(shù) 時(shí)的柯西分布密度函數(shù)稱為標(biāo)準(zhǔn)柯西分布密度函數(shù)，即 為方便起見，往后我們分別記這兩類密度函數(shù)為和對于柯西分布的數(shù)學(xué)期望和方差，因 所以不收斂，故柯西分布的數(shù)學(xué)期望與方差均不存在. 柯西分布的可加性 設(shè)隨機(jī)變量且彼此獨(dú)立，則有 證明 因均服從于柯西分布，且的特征函數(shù)分別是 又因彼此獨(dú)立，所以 這恰好就是參數(shù)為的柯西分布的特征函數(shù)，所以即證！ 卡方分布（分布）（分布）的定義及密度函數(shù)[7] 設(shè)獨(dú)立同分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布則稱所服從的分布為自由度為的卡方分布，記為卡方分布的密度函數(shù)為 卡方分布可加性 ，當(dāng)自由度時(shí)，卡方分布是由其自由度決定的，不同的自由度對應(yīng)了不同的卡方分布.，我們可以知道卡方分布即伽瑪分布的一個(gè)特例，所以由伽瑪分布的可加性我們易知卡方分布亦滿足可加性定理，即[5] 設(shè)且彼此獨(dú)立，則有 證明 由卡方分布的定義，設(shè) ， 從從卡方分布的定義，因此即證！2 具有可加性的概率分布間的關(guān)系 二項(xiàng)分布的泊松近似