【正文】 ｓ1 和　x7 ＝142 m214 分析　這是在變力作用下的動(dòng)力學(xué)問題．由于力是時(shí)間的函數(shù),而加速度a＝dv/dt,這時(shí),動(dòng)力學(xué)方程就成為速度對(duì)時(shí)間的一階微分方程,解此微分方程可得質(zhì)點(diǎn)的速度v (t)；由速度的定義v＝dx /dt,用積分的方法可求出質(zhì)點(diǎn)的位置．　　　　　解　因加速度a＝dv/dt,在直線運(yùn)動(dòng)中,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律有依據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件,即t0 ＝0 時(shí)v0 ＝ ms1 ,飛機(jī)離地面的高度y＝100 m,由上述兩式可得目標(biāo)在飛機(jī)正下方前的距離(2) 視線和水平線的夾角為(3) 在任意時(shí)刻物品的速度與水平軸的夾角為取自然坐標(biāo),物品在拋出2s 時(shí),重力加速度的切向分量與法向分量分別為119 分析　這是一個(gè)斜上拋運(yùn)動(dòng),看似簡(jiǎn)單,但針對(duì)題目所問,如不能靈活運(yùn)用疊加原理,建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,將運(yùn)動(dòng)分解的話,求解起來并不容易．現(xiàn)建立如圖(a)所示坐標(biāo)系,則炮彈在x 和y 兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)均為勻減速直線運(yùn)動(dòng),其初速度分別為v0cosβ和v0sinβ,其加速度分別為gsinα和gcosα．在此坐標(biāo)系中炮彈落地時(shí),應(yīng)有y ＝0,則x ＝OP．如欲使炮彈垂直擊中坡面,則應(yīng)滿足vx ＝0,直接列出有關(guān)運(yùn)動(dòng)方程和速度方程,即可求解．由于本題中加速度g 為恒矢量．故第一問也可由運(yùn)動(dòng)方程的矢量式計(jì)算,即,做出炮彈落地時(shí)的矢量圖［如圖(B)所示］,由圖中所示幾何關(guān)系也可求得 (即圖中的r 矢量)．解1　由分析知,炮彈在圖(a)所示坐標(biāo)系中兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)方程為 (1) (2)令y ＝0 求得時(shí)間t 后再代入式(1)得解2　做出炮彈的運(yùn)動(dòng)矢量圖,如圖(b)所示,并利用正弦定理,有 從中消去t 后也可得到同樣結(jié)果．(2) 由分析知,如炮彈垂直擊中坡面應(yīng)滿足y ＝0 和vx ＝0,則 (3)由(2)(3)兩式消去t 后得由此可知．只要角α和β滿足上式,炮彈就能垂直擊中坡面,而與v0 的大小無關(guān)．討論　如將炮彈的運(yùn)動(dòng)按水平和豎直兩個(gè)方向分解,求解本題將會(huì)比較困難,有興趣讀者不妨自己體驗(yàn)一下．120 分析　選定傘邊緣O 處的雨滴為研究對(duì)象,當(dāng)傘以角速度ω旋轉(zhuǎn)時(shí),雨滴將以速度v 沿切線方向飛出,并作平拋運(yùn)動(dòng)．建立如圖(a)所示坐標(biāo)系,列出雨滴的運(yùn)動(dòng)方程并考慮圖中所示幾何關(guān)系,即可求證．由此可以想像如果讓水從一個(gè)旋轉(zhuǎn)的有很多小孔的噴頭中飛出,從不同小孔中飛出的水滴將會(huì)落在半徑不同的圓周上,為保證均勻噴灑對(duì)噴頭上小孔的分布解　(1) 如圖(a)所示坐標(biāo)系中,雨滴落地的運(yùn)動(dòng)方程為 (1) (2)由式(1)(2)可得 由圖(a)所示幾何關(guān)系得雨滴落地處圓周的半徑為(2) 常用草坪噴水器采用如圖(b)所示的球面噴頭(θ0 ＝45176。ｓ1 ,則初速度大小為設(shè)vo與x 軸的夾角為α,則 α＝123176。≥θ2 ≥18．89176。s1 代入數(shù)據(jù)后,可解得也可以選擇不同的系統(tǒng),例如,把A、B 兩船(包括傳遞的物體在內(nèi))視為系統(tǒng),同樣能滿足動(dòng)量守恒,也可列出相對(duì)應(yīng)的方程求解．314 分析　人跳躍距離的增加是由于他在最高點(diǎn)處向后拋出物體所致．在拋物的過程中,人與物之間相互作用力的沖量,使他們各自的動(dòng)量發(fā)生了變化．如果把人與物視為一系統(tǒng),因水平方向不受外力作用,故外力的沖量為零,系統(tǒng)在該方向上動(dòng)量守恒．但在應(yīng)用動(dòng)量守恒定律時(shí),必須注意系統(tǒng)是相對(duì)地面(慣性系)而言的,因此,在處理人與物的速度時(shí),要根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的關(guān)系來確定．至于,人因跳躍而增加的距離,可根據(jù)人在水平方向速率的增量Δv 來計(jì)算．解　取如圖所示坐標(biāo)．把人與物視為一系統(tǒng),當(dāng)人跳躍到最高點(diǎn)處,在向左拋物的過程中,滿足動(dòng)量守恒,故有式中v 為人拋物后相對(duì)地面的水平速率, v u 為拋出物對(duì)地面的水平速率．得人的水平速率的增量為 而人從最高點(diǎn)到地面的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 所以,人跳躍后增加的距離315 分析　由于桌面所受的壓力難以直接求出,因此,可轉(zhuǎn)化為求其反作用力,即桌面給繩的托力．但是,應(yīng)注意此托力除了支持已落在桌面上的繩外,還有對(duì)dt 時(shí)間內(nèi)下落繩的沖力,此力必須運(yùn)用動(dòng)量定理來求．解　取如圖所示坐標(biāo),開始時(shí)繩的上端位于原點(diǎn),Oy 軸的正向豎直向下．繩的總長(zhǎng)為l,以t 時(shí)刻,已落到桌面上長(zhǎng)為y、質(zhì)量為m′的繩為研究對(duì)象．這段繩受重力P、桌面的托力FN 和下落繩子對(duì)它的沖力F (如圖中所示)的作用．由力的平衡條件有 (1)為求沖力F,可取dt 時(shí)間內(nèi)落至桌面的線元dy 為研究對(duì)象．線元的質(zhì)量,它受到重力dP 和沖力F 的反作用力F′的作用,由于F′＞＞dP,故由動(dòng)量定理得 (2)而 (3)由上述三式可得任意時(shí)刻桌面受到的壓力大小為316 分析　這是一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)量轉(zhuǎn)移的問題．為了討論火箭的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,仍需建立其在重力場(chǎng)中的動(dòng)力學(xué)方程．為此,以t 時(shí)刻質(zhì)量為m 的火箭為研究對(duì)象,它在t→t ＋Δt 的時(shí)間內(nèi),將分離成火箭主體(包括尚剩的燃料)和排出的燃料兩部分．根據(jù)它們的總動(dòng)量的增量ΣdPi 和系統(tǒng)所受的外力———重力(阻力不計(jì)),由動(dòng)量定理可得到mg ＝udm′/dt ＋mdv/dt(推導(dǎo)從略,見教材),即火箭主體的動(dòng)力學(xué)方程．由于在dt 時(shí)間內(nèi)排出燃料的質(zhì)量dm′很小,式中m 也就可以視為此刻火箭主體的質(zhì)量, 而燃料的排出率dm′/dt 也就是火箭質(zhì)量的變化率dm/dt．這樣,上述方程也可寫成．在特定加速度a0 的條件下,根據(jù)初始時(shí)刻火箭的質(zhì)量m0 ,就可求出燃料的排出率dm/dt．在火箭的質(zhì)量比( 即t 時(shí)刻火箭的質(zhì)量m 與火箭的初始質(zhì)量m0之比) 已知的條件下,可算出火箭所經(jīng)歷的時(shí)間,則火箭運(yùn)動(dòng)的速率可通過對(duì)其動(dòng)力學(xué)方程積分后解得．解　(1) 以火箭發(fā)射處為原點(diǎn),豎直向上為正方向．該火箭在重力場(chǎng)中的動(dòng)力學(xué)方程為 (1)因火箭的初始質(zhì)量為m0 ＝ 105 kg, 要使火箭獲得最初的加速度a0 ＝ m＜θ ＜69．92176。41′．軌跡如圖所示．116 分析　瞬時(shí)加速度和平均加速度的物理含義不同,它們分別表示為和．在勻速率圓周運(yùn)動(dòng)中,它們的大小分別為, ,式中｜Δv｜可由圖(B)中的幾何關(guān)系得到,而Δt 可由轉(zhuǎn)過的角度Δθ 求出．由計(jì)算結(jié)果能清楚地看到兩者之間的關(guān)系,即瞬時(shí)加速度是平均加速度在Δt→0 時(shí)的極限值．解　(1) 由圖(b)可看到Δv ＝v2 v1 ,故 而 所以 (2) 將Δθ＝90176。ｓ1,x0＝ m．于是可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為 114 分析　本題亦屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題,與上題不同之處在于加速度是速度v的函數(shù),因此,需將式dv ＝a(v)dt 分離變量為后再兩邊積分．解　選取石子下落方向?yàn)閥 軸正向,下落起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1) 由題意知 (1)用分離變量法把式(1)改寫為 (2)將式(2)兩邊積分并考慮初始條件,有 得石子速度 由此可知當(dāng),t→∞時(shí),為一常量,通常稱為極限速度或收尾速度．(2) 再由并考慮初始條件有 得石子運(yùn)動(dòng)方程115 分析　與上兩題不同處在于質(zhì)點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng),根據(jù)疊加原理,求解時(shí)需根據(jù)加速度的兩個(gè)分量ax 和ay分別積分,從而得到運(yùn)動(dòng)方程r的兩個(gè)分量式x(t)和y(t)．由于本題中質(zhì)點(diǎn)加速度為恒矢量,故兩次積分后所得運(yùn)動(dòng)方程為固定形式,即和,兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)均為勻變速直線運(yùn)動(dòng)．讀者不妨自己驗(yàn)證一下．解　由加速度定義式,根據(jù)初始條件t0 ＝0時(shí)v0 ＝0,積分可得 又由及初始條件t＝0 時(shí),r0＝(10 m)i,積分可得 由上述結(jié)果可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的分量式,即x ＝10＋3t2 y ＝2t2消去參數(shù)t,可得運(yùn)動(dòng)的軌跡方程 3y ＝2x 20 m這是一個(gè)直線方程．直線斜率,α＝33176。之間的任何值．176。s2,則燃?xì)獾呐懦雎蕿?2) 為求火箭的最后速率,可將式(1)改寫成 分離變量后積分,有 火箭速率隨時(shí)間的變化規(guī)律為 (2),故經(jīng)歷時(shí)間t 后,其質(zhì)量為得 (3)將式(3)代入式(2),依據(jù)初始條件,可得火箭的最后速率317 分析　由題意知質(zhì)點(diǎn)是在變力作用下運(yùn)動(dòng),因此要先找到力F 與位置x 的關(guān)系,由題給條件知．則該力作的功可用式 計(jì)算,然后由動(dòng)能定理求質(zhì)點(diǎn)速率．解　由分析知, 則在x ＝0 到x ＝L 過程中作功, 由動(dòng)能定理有 得x ＝L 處的質(zhì)點(diǎn)速率為此處也可用牛頓定律求質(zhì)點(diǎn)速率,即分離變量后,兩邊積分也可得同樣結(jié)果．318 分析　該題中雖施以“恒力”,但是,作用在物體上的力的方向在不斷變化．需按功的矢量定義式來求解．解　取圖示坐標(biāo),繩索拉力對(duì)物體所作的功為319 分析　本題是一維變力作功問題,仍需按功的定義式來求解．關(guān)鍵在于尋找力函數(shù)F ＝F(x)．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系,可將已知力與速度的函數(shù)關(guān)系F(v) ＝kv2 變換到F(t),進(jìn)一步按x ＝ct3 的關(guān)系把F(t)轉(zhuǎn)換為F(x),這樣,就可按功的定義式求解．解　由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程x ＝ct3 ,可得物體的速度按題意及上述關(guān)系,物體所受阻力的大小為則阻力的功為320 分析　由于水桶在勻速上提過程中,拉力必須始終與水桶重力相平衡．水桶重力因漏水而隨提升高度而變,因此,拉力作功實(shí)為變力作功．由于拉力作功也就是克服重力的功,因此,只要能寫出重力隨高度變化的關(guān)系,拉力作功即可題3 20 圖求出．解　水桶在勻速上提過程中,a ＝0,拉力與水桶重力平衡,有F ＋P ＝0在圖示所取坐標(biāo)下,水桶重力隨位置的變化關(guān)系為P ＝mg αgy其中α＝0．2 kg/m,人對(duì)水桶的拉力的功為321 分析　(1) 在計(jì)算功時(shí),首先應(yīng)明確是什么力作功．小球擺動(dòng)過程中同時(shí)受到重力和張力作用．重力是保守力,根據(jù)小球下落的距離,它的功很易求得；至于張力雖是一變力,但是,它的方向始終與小球運(yùn)動(dòng)方向垂直,根據(jù)功的矢量式,即能得出結(jié)果來．(2) 在計(jì)算功的基礎(chǔ)上,由動(dòng)能定理直接能求出動(dòng)能和速率．(3) 在求最低點(diǎn)的張力時(shí),可根據(jù)小球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心加速度由重力和張力提供來確定．解　(1) 如圖所示,重力對(duì)小球所作的功只與始末位置有關(guān),即在小球擺動(dòng)過程中,張力FＴ 的方向總是與運(yùn)動(dòng)方向垂直,所以,張力的功 (2) 根據(jù)動(dòng)能定理,小球擺動(dòng)過程中,其動(dòng)能的增量是由于重力對(duì)它作功的結(jié)果．初始時(shí)動(dòng)能為零,因而,在最低位置時(shí)的動(dòng)能為 小球在最低位置的速率為 (3) 當(dāng)小球在最低位置時(shí),由牛頓定律可得 322 分析　質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中速度的減緩,意味著其動(dòng)能減少；而減少的這部分動(dòng)能則消耗在運(yùn)動(dòng)中克服摩擦力作功上．由此,可依據(jù)動(dòng)能定理列式解之．解　(1) 摩擦力作功為 (1)(2) 由于摩擦力是一恒力,且Fｆ ＝μmg,故有 (2)由式(1)、(2)可得動(dòng)摩擦因數(shù)為(3) 由于一周中損失的動(dòng)能為,則在靜止前可運(yùn)行的圈數(shù)為圈323 分析　運(yùn)用守恒定律求解是解決力學(xué)問題最簡(jiǎn)捷的途徑之一．因?yàn)樗c過程的細(xì)節(jié)無關(guān),也常常與特定力的細(xì)節(jié)無關(guān)．“守恒”則意味著在條件滿足的前提下,過程中任何時(shí)刻守恒量不變．在具體應(yīng)用時(shí),必須恰當(dāng)?shù)剡x取研究對(duì)象(系統(tǒng)),注意守恒定律成立的條件．該題可用機(jī)械能守恒定律來解決．選取兩塊板、彈簧和地球?yàn)橄到y(tǒng),該系統(tǒng)在外界所施壓力撤除后(取作狀態(tài)1),直到B 板剛被提起(取作狀態(tài)2),在這一過程中,系統(tǒng)不受外力作用,而內(nèi)力中又只有保守力(重力和彈力)作功,支持力不作功,因此,滿足機(jī)械能守恒的條件．只需取狀態(tài)1 和狀態(tài)2,運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列出方程,并結(jié)合這兩狀態(tài)下受力的平衡,便可將所需壓力求出．解　選取如圖(b)所示坐標(biāo),取原點(diǎn)O處為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能零點(diǎn)．作各狀態(tài)下物體的受力圖．對(duì)A 板而言,當(dāng)施以外力F 時(shí),根據(jù)受力平衡有F1 ＝P1 ＋F (1)當(dāng)外力撤除后,按分析中所選的系統(tǒng),由機(jī)械能守恒定律可得式中y1 、y2 為M、N 兩點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)O 的位移．因?yàn)镕1 ＝ky1 ,F2 ＝ky2 及P1 ＝m1g,上式可寫為F1 F2 ＝2P1 (2)由式(1)、(2)可得F ＝P1 ＋F2 (3)當(dāng)A 板跳到N 點(diǎn)時(shí),B 板剛被提起,此時(shí)彈性力F′2 ＝P2 ,且F2 ＝F′2 ．由式(3)可得F ＝P1 ＋P2 ＝(m1 ＋m2 )g應(yīng)注意,勢(shì)能的零點(diǎn)位置是可以任意選取的．為計(jì)算方便起見,通常取彈簧原長(zhǎng)時(shí)的彈性勢(shì)能為零點(diǎn),也同時(shí)為重力勢(shì)能的零點(diǎn)．324 分析　礦車在下滑和返回的全過程中受到重力、彈力、阻力和支持力作用．若取礦車、地球和彈簧為系統(tǒng),支持力不作功,重力、彈力為保守力,而阻力為非保守力．礦車在下滑和上行兩過程中,存在非保守力作功,系統(tǒng)不滿足機(jī)械能守恒的條件,因此,可應(yīng)用功能原理去求解．在確定重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能時(shí),應(yīng)注意勢(shì)能零點(diǎn)的選取,常常選取彈簧原長(zhǎng)時(shí)的位置為重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能共同的零點(diǎn),這樣做對(duì)解題比較方便．解　取沿斜面向上為x 軸正方向．彈簧被壓縮到最大形變時(shí)彈簧上端為坐標(biāo)原點(diǎn)O．礦車在下滑和上行的全過程中,按題意,摩