【正文】 其中，評價函數 Eval完成以下任務 :根據公式計算該粒子所代表路徑方案的行駛成本 Z，在計算中發(fā)貨點任務的執(zhí)行次序要根據對應 Xr值的大小順序，由小到大執(zhí)行。求滿足貨運要求的運行費用最少的車輛行駛線路。從系統(tǒng)工程的角度而言， PSO應該是一個連續(xù)的非線性動態(tài)系統(tǒng)，因此將復雜系統(tǒng)的研究方法，將混沌理論中的非線性動力學引入 PSO的分析和改進研究應該是非常有前途的。v 定理 在數字計算機實現的標準 PSO算法中，粒子群等價類狀態(tài)序列 是有限齊次 Markov鏈。 粒子運動軌跡的分析（續(xù)）PSO算法收斂性分析 隨機算法收斂的標準 對于優(yōu)化問題 ，有隨機優(yōu)化算法 D，第 k次迭代的結果 XK，下一次迭代的結果為 ，其中 是算法 D這次迭代中曾經搜索過的解。 粒子運動軌跡的分析（續(xù)） 實驗研究發(fā)現，粒子群中粒子運動軌跡收斂到固定點的概率與參數選擇存在著密切關系。粒子運動軌跡的分析 為了便于分析和表達，首先將問題空間簡化為一維的，分別用 、 表示式（ ）中的 和 ，僅研究粒子群中的某一個粒子 i的運動過程，并暫時先假設 pBest、 gBest在粒子 i運動過程中不變，于是可得粒子 i運動的狀態(tài)方程組（ ）和（ ），這將是本節(jié)分析和討論的對象。 PSO與 EC的異同 首先， PSO和 EC所模擬的自然隨機系統(tǒng)不一樣。 基本 PSO算法 (續(xù) ) PSO中，每個優(yōu)化問題的解都是搜索空間中的一只鳥 。 PSO的優(yōu)勢在于簡單容易實現同時又有深刻的智能背景，既適合科學研究，又特別適合工程應用，并且沒有許多參數需要調整。自然界種蟻群尋找食物時會派出一些螞蟻分頭在四周游蕩，如果一只螞蟻找到食物，它就返回巢中通知同伴并沿途留下 “信息素 ”（pheromone） 作為蟻群前往食物所在地的標記。[5] Adaptability Principle: 環(huán)境所發(fā)生的變化中，若出現群體值得付出代價的改變機遇，群體必須能夠改變其行為模式。 Swarm Intelligence(續(xù) ) Swarm可被描述為一些相互作用相鄰個體的集合體，蜂群、蟻群、鳥群都是 Swarm的典型例子。 Swarm Intelligence(續(xù) ) James Kennedy和 Russell 2022年出版了《 Swarm Intelligence》，是群智能發(fā)展的一個重要歷程碑，因為此時已有一些群智能理論和方法得到了應用。Swarm Intelligence(續(xù) ) 目前，已有的群智能理論和應用研究證明群智能方法是一種能夠有效解決大多數優(yōu)化問題的新方法，更重要是 ,群智能潛在的并行性和分布式特點為處理大量的以數據庫形式存在的數據提供了技術保證。在基本運算中引入魚群的生存機制、競爭機制以及魚群的協調機制，提高算法的有效效率。現在我們討論另一種生物系統(tǒng)：社會系統(tǒng)，更確切地說，是由簡單個體組成的群落與環(huán)境以及個體之間的互動行為，也可稱做 群智能 。另外 ,也可以不用整個種群而只是用其中一部 分的鄰居。 Particle Swarm研究熱點 IEEE TRANSACTION ON EVOLUTIONARY COMPUTION于 2022年出版了第 3卷： SPECIAL ISSUE ON PSO。因此當搜索時間無限時，所有粒子的位置將逐步靠近并停止于 處。是否能通過 PSO參數的選擇來調整粒子運動軌跡的振蕩幅值呢？ 粒子運動軌跡的分析（續(xù)）粒子運動軌跡的分析（續(xù)） 若 PSO參數一直滿足條件（ ） ,則粒子運動軌跡振蕩的幅值是有限的。 定義 （粒子群狀態(tài)和粒子群狀態(tài)空間） 粒子群中所有N個粒子的狀態(tài)的集合稱為粒子群狀態(tài)，簡稱粒子群 。 PSO理論分析的其它可能方法 目前，能對 PSO算法進行理論分析的有效數學手段還很少，本文了提出的兩個新的分析手段，在微觀上采用差分方程，在宏觀上采用 Markov鏈。mm], and the other data of the tobelaid objects and the result of the layout is shown in TABLE 1.(a) Layout Pattern by HCIGA (b) Layout Pattern by PSOTABLE 2 COMPARISON OF LAYOUT SCHEMES FOR TEST SUIT 1Algorithm GARef [11] HCIGA PSORadius of the out warp circle (mm) Static equilibrium error () Interference (mm) 0 0 0Computation time (s) 1735 1002 1874Ps: The putation time is converted into the time of the puter with 166M main frequency, by using PSO, when the calculated radius of the out wrap circle is , the putation time is 760 seconds.Repeat the test suit by PSO for 40 times, and the results are shown as TABLE 3, that is, every time the result all satisfies the restrict conditions, and the mean radius of the out wrap circle is .TABLE 3 RESULTS OF 40 TIMES COMPUTATION FOR TEST SUIT 1Radius of the outwarp circle (mm) ≤ ( , ] (, ] (,]Times 10 16 5 2Radius of the outwarp circle (mm) (, ] (,] Times 2 2 3Test Suit 3 In order to prove the availability of PSO further, the known most optimal solution in the test suit of [8] is quoted. In the big round container, of which the radius is R=125mm, five tobelaid objects are laid out. The data of the tobelaid objects and the result of the layout are shown in TABLE 6. (In [8], the population size of GA, M, is 60, while in this paper, the number of the PSO particles, M, is 60, and the population size of neighborhood is 2, and c1=c2=, and w=, and the maximum number of iteration is 200.) Table 6 RESULTS OF LAYOUT SCHEME FOR TEST SUIT 3No r(mm)m(kg) Optimization(Known quantity) SAGA PSOx(mm) y(mm) x(mm) y(mm) x(mm) y(mm)1 2 3 4 5 (a) Optimization (b) Layout Pattern (c) Layout PatternLayout Pattern by SAGA by PSOTable 7 COMPARISON OF LAYOUT SCHEMES FOR TEST SUIT 3Algorithm SAGA GA PSORadius of the out warp circle (mm) Static equilibrium error () Interference (mm) 0 0 0Computation time(s) 648 306 287 Layout Pattern of the global optima and usual local optima of show in Fig 2, if λ1 =1, λ2 =1, λ3 =.Fig 2 Layout Pattern of the global optima and usual local optima To measure the effectiveness and viability of PSO with mutation operator, results are pared with basic local PSO and Multi Start PSO. The max iteration is 1000，size of population is 60, MaxStep=10,ρ=20% and . Results are presented in Table 7, 50 runs for each algorithm. 帶時間窗車輛路徑問題 車輛路徑問題 (Vehicle Routing Problem，VRP)由 Dantzig和 Ramser于 1959年首次提出的，它是指對一系列發(fā)貨點 (或收貨點 )，組成適當的行車路徑，使車輛有序地通過它們，在滿足一定約束條件的情況下，達到一定的目標 (諸如路程最短、費用最小，耗費時間盡量少等 )，屬于完全 NP問題，在運籌、計算機、物流、管理等學科均有重要意義。 VRP問題為整數規(guī)劃問題，因此在算法實現過程中要作相應修改。實驗結果如下： 表 6 實驗 2 GA、 PSO方法 結 果 對 比搜索成功率 平均行 駛 成本 平均成功搜索 時間GA 24% PSO 46% Evolving Neural Networksv Evolve neural work capable of being universal approximator, such as backpropagation or radial basis function work.v In backpropagation, most mon PE transfer function is sigmoidal function: output = 1/(1 + e input )v PSO can also be used to indirectly evolve the structure of a work. An added benefit is that the preprocessing of input data is made unnecessary.Evolving Neural Networksv Evolve both the work weights and the slopes of sigmoidal transfer functions of hidden and output PEs.v If transfer function now is: output = 1/(1 + e k*input ) then we are evolving k in addition to evolving the weights.v The method is general, and can