【正文】 ? 兩式 構(gòu)成了 yz平面內(nèi)機器人工作區(qū)域的邊界，如圖中粗實線所示。39。這樣由前三個關(guān)節(jié)角形成四種解 ， 后三個關(guān)節(jié)還有倆組解即腕上翹和腕下垂 。 ???????????? ???10001000000),0,0(),(66666565TTdcsscdMZMM?????七 .反向運動學(xué) ? 在機器人控制及軌跡規(guī)劃中 ， 即在已知手部要達(dá)到的空間位置的情況下 ， 如何求出關(guān)節(jié)重量 ， 以驅(qū)動各關(guān)節(jié)的馬達(dá) ，使手部的位置得到滿足 ， 這就是反向運動學(xué)問 ， 也稱間接位置求解問 。 桿件坐標(biāo)系之間的變換矩陣 在用 DH法建立了各桿件坐標(biāo)系后，即可方便在確定聯(lián)系 i坐標(biāo)系和 i1坐標(biāo)系的齊次變換矩陣。 [解 1]繞 ox軸轉(zhuǎn) α 角之后 ， oyj軸用參考系（ i）的單位矢量 ix,jy,kz,表示應(yīng)為 : jrj=cosα jyi+sinα kzi kzj =sinα jyi+ cosα kzi ixj軸與原來不變 比較矩陣 即為矩陣中第二、三列。例如下列齊次變換矩陣 M使 Ouvw坐標(biāo)系的原點平移到參考坐標(biāo)系的（ dx,dy,dz）點而保持坐標(biāo)軸的平行。 旋轉(zhuǎn)矩陣的性質(zhì) 一 : 旋轉(zhuǎn)矩陣的每一列向量代表了用參考系坐標(biāo)軸單位矢量表示的轉(zhuǎn)動坐標(biāo)軸單位矢量 ， 而每一行矢量代表了用 ouvw系轉(zhuǎn)動軸單位向量表示的參考系坐標(biāo)軸單位矢量 。 X Y Z O o’ X’ Y’ n?Z’ t?b?c=[ ] btn ??? ,二、轉(zhuǎn)動矩陣的一般形式 ? 設(shè)有兩個共原點的右手坐標(biāo)系和如圖 22，后一坐標(biāo)系可認(rèn)為是前一系繞定點 O旋轉(zhuǎn)而成的。 o ir jr iZ iXiY jXjY jZ P P點從 j系變換到 i系的坐標(biāo)變換 ? 若空間有一點 P，該點在 i系內(nèi)的坐標(biāo)為 : 在 j系內(nèi)的坐標(biāo)為 : 若以 i系為參考坐標(biāo)，根據(jù)投影關(guān)系， P點從 j系變換到 i系的坐標(biāo)變換關(guān)系為： ? ?Tiiii zyxR ?? ?Tjjjj zyxR ?)c o s ()c o s ()c o s ( jijjijjiji zxzyxyxxxx ???)c o s ()c o s ()c o s ( jijjijjiji zyzyyyxyxy ???)c o s ()c o s ()c o s ( jijjijjiji zzzyzyxzxz ???一般形式的轉(zhuǎn)動矩陣 ? 這一關(guān)系可以用矩陣表示為 ? ? ? ? ? ? jjii rRr ??(1) j坐標(biāo)系繞 i坐標(biāo)系的某一軸轉(zhuǎn)動的方向余弦矩陣 ? ????????????)c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s (jijijijijijijijijijizzyzxzzyyyxyzxyxxxR當(dāng)兩個坐標(biāo)系無相對轉(zhuǎn)動時 ? ? ? ?IR ji ?? ? IRji???????????????????????1000100010c o s90c o s90c o s90c o s0c o s90c o s90c o s90c o s0c o s000000若取 j系為參考系，則 p點從 i系到 j系的坐標(biāo)變換為 ? 式中 : ? ? ? ?? ?iijj rRr ?? ????????????)c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s (ijijijijijijijijijijzzyzxzzyyyxyzxyxxxR(2) 轉(zhuǎn)動矩陣為正交陣 ? 由于①式： ③ ? ? ? ? ? ?iijj rRr1?? 比較②③兩式 ： ? ? ? ? ? ? Tjijiij RRR ?? ? 1? ? ? ? Tjiij RR ?得 : 故轉(zhuǎn)動矩陣為正交陣 三、繞一個坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動矩陣 繞 x,y,z坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)矩陣是最基本的轉(zhuǎn)動矩陣，它們是一般轉(zhuǎn)動矩陣的特例，故可直接由一般轉(zhuǎn)動矩陣得到。 旋轉(zhuǎn)矩陣的性質(zhì) 二 : ? 由于每一行或列代表一個單位矢量，故其模等于 1。 ???????????????1000100010001zyxdddM局部和整體比例變化 ? 齊次變換矩陣的主對角線元素形成局部和整體比例變化。另外，沿轉(zhuǎn)動后的 oyj軸平移 b單位，就是 : bjYj=bcosdjYi+bsindkzi 故 M矩陣為 : ????????????10000c o ss i n00s i nc o s00001, ?????xM????????????1000s i nc o ss i n0c o ss i nc o s00001, ??????? bbMx[解 2]按前述的規(guī)則，由于 Mxα 矩陣把 oy軸轉(zhuǎn)至 oyj軸，沿 oyj,軸再平移可達(dá)到同樣的目的，即 : ???????????????????????????????????1000s i nc o ss i n0c o ss i nc o s0000110000100010000110000c o ss i n00s i nc o s00001,???????????bbbMMMbYx兩個桿件坐標(biāo)系的關(guān)系 ? 如果兩個坐標(biāo)系分別固聯(lián)在機器人的兩個桿件上，例如桿件 i1和桿件 i；利用 M矩，我們可把桿件 i上在 i坐標(biāo)系中的定點 Pi 用桿件 i1坐標(biāo)系表示為 : Pi1=i1Mi Pi 五、桿件、關(guān)節(jié)和它們的參數(shù) ? 操作機由一串用轉(zhuǎn)動或平移關(guān)節(jié)連接的剛體組成 ,每一對關(guān)節(jié)一桿件構(gòu)成一個自由度。即 i與 i1系間的變換關(guān)系可用坐標(biāo)和平移，旋轉(zhuǎn)來實現(xiàn)。 代數(shù)法中的逆變換法 ? 如有一個具有四個自由度的機器人 ， 其末端執(zhí)行相對于機座坐標(biāo)系的位置矩陣 0M4應(yīng)為 : 0M4=0M11M22M33M4 (a) ? 將一組逆矩陣 0M11， 1M2 1 ， 2M3 1連續(xù)左乘式兩端 ， 可得三個矩陣方程式 。 斯比福機器人 的樹狀解 ? 對于各關(guān)節(jié)中運動變量的多解性 ，而形成的多組解 ，可以用如圖所示的樹狀的圖線來表示這種多解關(guān)系 ， 稱為樹狀解 。5?6? 39。 ? 當(dāng) θ 1繞 2軸在取值范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動，則形成此機器人操作的工作空間。 這里圓心坐標(biāo)是 θ 2的函數(shù) 。39。 每一種有肘向上和肘向下兩種位形 。 桿件 關(guān)節(jié)變量 α i ai di 1 θ 1 90 0 0 2 θ 2 90 0 d2 3 θ 3 (d3) 0 0 d3 4 θ 4 90 0 0 5 θ 5 90 0 0 6 θ 6 0 0 0 確定各桿件的結(jié)構(gòu)參數(shù) 和運動變量 寫出各相鄰兩桿件坐標(biāo)系之間的位姿矩陣 1系與 0系是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)連接 ?????????????????????????????????? ??????????????????????? ????1000001000001000001001000001100001000000100000000001100001000000),(),(111111111111111111101??????????????????cssccssccssccsscXMZMM?2系與 1系旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)連接，桿長 d2 ??????????????????????????????? ????????????????????????????????? ???1000001001000001000010000100001100001000000100000000001000010000100001100001000000),(),0,0(),(`22222222222222222212dcssccsscdcsscxMdMZMM????????????????????????????1000110000022222dcssc????3系與 2系是移動關(guān)節(jié)連 接 ，移動行程為 d3 ????????????100010000100001),0,0(`313 ddMM4系與 3系是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)連 接 ?????????????????????????????????? ??????????????????????? ???1000001000001000001001000001100001000000100000000001100001000000),(),(4444444444444444444343??????????????????cssccssccssccsscXMZMM5系與 4系是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)連接 ????????????????????????????????????? ??????????????????????????? ???1000001000001000001001000001100001000000100000000001100001000000),(),(5555555555555555555454??????????????????cssccssccssccsscXMZMM6系與 5系是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)連接 ???????????? ???100001000000),(66666565?????csscZMM手部位置的解 ? 上述方程中各 元素 均為 θ 和 d的函數(shù)，當(dāng) θ和 d給出后，可以計算出工件的位置和方向，這些值即手部位置的解，這個求解過程就是正向求解