【正文】 ．求證：圖932　?。?）BD⊥平面ADC；　?。?）若H是△ABC的垂心，則H為D在平面ABC內(nèi)的射影．解析：（1）設(shè)AD=BD=CD=a，則．∵ ∠BAC=60176。.∴A、B兩地的經(jīng)度差是90176。連AB′，可知ΔABB′ B B′中點H，連結(jié)AH，則AH⊥BB′.又由C′B′⊥平面A′AB，得平面A′ABB′⊥平面 C′B′BC，而AH垂直于兩平面交線BB′，∴AH⊥平面C′B′′H，則∠AC′H為 AC′與平面BCC′B′所成的角，AB′＝4，AH＝2，于是直角三角形C′B′A中，A′C＝5，在RtΔAHC′中，sin∠AC′H＝∴∠AC′H＝arcsin,∴直線AC′與平面BCC′B′所成的角是arcsin.408. 已知四棱錐P—ABCD，它的底面是邊長為a的菱形，且∠ABC＝120176。BC＝a,AC＝b,D是斜邊AB上的點，以CD為棱把它折成直二面角A—CD—B后，D在怎樣的位置時，AB為最小，最小值是多少?解析： 設(shè)∠ACD＝θ，則∠BCD＝90176。（1）求證：AC⊥面ABC1；（2）求證：C1點在平面ABC上的射影H在直線AB上；（3）求此三棱柱體積的最小值。∴Ｏ為AB的中點，∵AO＝５，PA＝７，∴PO＝386. P是邊長為a的六邊形ABCDEF所成平面外一點，PA⊥AB，PA⊥AF，PA＝a，則點P到邊CD的距離是 解析：2a．PA⊥平面ABCDEF，A到CD的距離為，∴P到邊CD的距離是2a387. 如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點．（１） 求證：MN⊥CD；（２） 若∠PDA＝45176。不妨令a=b=2，c=1，則V=BC＝３６，若平面ABC外一點P與平面A，B，C三點等距離，且P到平面ABC的距離為８０，M為AC的中點．（１）求證：PM⊥AC；（２）求P到直線AC的距離；（３）求PM與平面ABC所成角的正切值．解析：點P到△ABC的三個頂點等距離，則P在平面ABC內(nèi)的射影為△ABC的外心，而△ABC為直角三角形，其外心為斜邊的中點．證明?。ǎ保逷A＝PC，M是AC中點，∴PM⊥AC 解?。ǎ玻連C＝３６，∴MH＝１８，又PH＝８０，∴PM＝，即P到直線AC的距離為８２；（３）∵PM=PB=PC，∴P在平面ABC內(nèi)的射線為△ABC的外心， ∵∠C=90176。 即BP與平面PCD所成角為30176。解析：設(shè)A1在平面ABC上的射影為0∵ ∠A1AB=∠A1AC∴ O在∠BAC的平行線AM上∵ △ABC為正三角形∴ AM⊥BC又AM為A1A在平面ABC上的射影∴ A1A⊥BC （2）∵ B1B∥A1A∴ B1B⊥BC，即側(cè)面BB1C1C為矩形∴ 又∴ S全= （3）∵ cos∠A1AB=cos∠A1AOsin∠ADE＝3a∴PD＝AD(a)2＝3πa2.435. 圓柱形容器的內(nèi)壁底半徑為5cm，兩個直徑為5cm的玻璃小球都浸沒于容器的水中，若取出這兩個小球，則容器內(nèi)的水面將下降 cm.解析：球的體積等于它在容器中排開水的體積.解： 設(shè)取出小球后，容器水平面將下降hcm，兩小球體積為V球＝2π52h,V1＝ V球即 25πh＝π ∴h＝cm.∴應(yīng)填.436. 空間四邊形ABCD的四條邊相等，那么它的兩條對角線AC和BD的關(guān)系是（　）．　　A．相交且垂直 B．相交但不垂直　　C．不相交也不垂直 D．不相交但垂直解析：D．取BD中點O，則BD⊥AO，BD⊥CO，故BD⊥平面ACO，因此BD⊥AC．437. 已知a、b是異面直線，那么經(jīng)過b的所在平面中（?。　．只有一個平面與a平行 B．有無數(shù)個平面與a平行　　C．只有一個平面與a垂直 D．有無數(shù)個平面與a垂直解析：A．過b上任一點P作直線，由和b確定的平面a 與a平行，這個平面是過b且平行于a的唯一一個平面．故排除B．當(dāng)a與b不垂直時，假設(shè)存在平面b ，使bb ，且a⊥b ，則a⊥b，這與a、b不垂直矛盾，所以當(dāng)a、b不垂直時，不存在經(jīng)過b且與a垂直的平面，當(dāng)a、b垂直時，過b且與a垂直的平面是唯一的，設(shè)a、b的公垂線為c，則由c和b所確定的平面與a垂直，且唯一．438. 若直線l與平面a 所成角為，直線a在平面a 內(nèi)，且與直線l異面，則直線l與直線a所成的角的取值范圍是（?。　． B．　　C． 　D．解析：C．因為直線l是平面的斜線，斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角，故a與l所成的角大于或等于；又因為異面直線所成的角不大于，故選C．439. 直線a、b均在平面a 外，若a、b在平面a 上的射影是兩條相交直線，則a和b的位置關(guān)系是（?。　．異面直線 B．相交直線 C．平行直線 D．相交或異面直線解析：D440. ABCD是平面a 內(nèi)的一個四邊形，P是平面a 外的一點，則△PAB、△PBC、△PCD、△PDA中是直角三角形的最多有（　）．　　A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解析：D．作矩形ABCD，PA⊥平面AC，則所有的三角形都是直角三角形441. 已知直線PG⊥平面a 于G，直線EFa ，且PF⊥EF于F，那么線段PE、PF、PG的關(guān)系是（　）．　　A．PE＞PG＞PF B．PG＞PF＞PE　　C．PE＞PF＞PG D．PF＞PE＞PG解析：C．如圖答917．PG⊥a ，EFa ，PF⊥EF，則GF⊥EF．在Rt△PGF中，PF為斜邊，PG為直角邊，PF＞PG．在Rt△PFE中，PF為直角邊，PE為斜邊，PE＞PF，所以有PE＞PF＞PG．442. 下列命題中正確的是（?。　．若a是平面a 的斜線，直線b垂直于a在平面a 內(nèi)的射影為，則a⊥b　　B．若a是平面a 的斜線，平面b 內(nèi)的直線b垂直于a在平面a 內(nèi)的射影為，則a ⊥b　　C．若a是平面a 的斜線，直線b平行于平面a ，且b垂直于a在平面a 內(nèi)的射影，則a⊥b　　D．若a是平面a 的斜線，b是平面a 內(nèi)的直線，且b垂直于a在另一個平面b 內(nèi)的射影，則a⊥b解析：C．如圖答918，直線b垂直于a在平面a 內(nèi)的射影，但不能得出a⊥b的結(jié)論．排除A．令b 是直線a與其在a 內(nèi)的射影確定的平面，在b 內(nèi)取垂直于的直線為b，不能得出a⊥b的結(jié)論．排除B．同理排除D．如圖答919，在a 內(nèi)任取點P，∵ ，則過b與P確定平面g ，設(shè)，因為b∥a ，則．∵ ，∴ ．∴ ，∴ b⊥a．于是C正確．443. 設(shè)正方體的棱長為1，則　　（1）A到的距離等于________；　　（2）A到的距離等于________；　?。?）A到平面的距離等于________；?。?）AB到平面的距離等于________．解析：1）連接，AC，則，取的中點E，連結(jié)AE，則．∴ AE為點A到直線的距離，在Rt△ACE中， ∴ ，∴ ．即A到、C的距離等于．（2）連結(jié)．∵ AB⊥平面，∴ ．在Rt△中，AB=1，設(shè)A到的距離為h，則．即，∴ ，即點A到的距離為．　?。?）連結(jié)交于F，則．∵ CD⊥平面，且AF平面，∴ CD⊥AF．∵ CD∩AD=D，∴ AF⊥平面．∴ AF為點A到平面的距離．∵ ，∴ ．　?。?）∵ AB∥CD，∴ AB∥平面，∴ AB到平面的距離等于A點到平面的距離，等于．444. 已知正方體．則　?。?）與平面ABCD所成的角等于________；　?。?）與平面ABCD所成的角的正切值等于________；　?。?）與平面所成的角等于________ ；　　（4）與平面所成的角等于________；（5）與平面所成的角等于________.解析：（1）∵ ⊥平面ABCD，∴ 為與平面ABCD所成的角，=45176。z＝xyz＝說明 對棱相等的四面體各面是全等的銳角三角形，本題采用了體積分割法，轉(zhuǎn)化法求體積. 34 。AH，∴r＝AH＝a,設(shè)外接球心為O，半徑R，過A點作球的半徑交底面ΔBCD于H，則H為ΔBCD的外心，求得BH＝a,AH＝a,由相交弦定理得a(2Ra)＝(a)2.解得R＝a.：球的任意兩個大圓互相平分.證明：因為任意兩個大圓都過球心O，所以它們必交于過球心的直徑，這條直徑也是兩個大圓的公共直徑，所以任意兩個大圓互相平分.，.解： 如圖，設(shè)球的半徑為R，∵πO2B2＝49π， ∴O2B＝7同理 O1A＝20設(shè)OO1＝xcm，則OO2＝(x+9)cm.在RtΔOO1A中，可得R2＝x2+202在RtΔOO2B中，可得R2＝72+(x+9)2∴x2+202＝72+(x+9)2解方程得 x＝15cmR2＝x2+202＝252∴S球＝4π174)］＝288π(cm3).424. 正三棱錐的底面邊長是2cm，側(cè)棱與底面成60176。sin∠AFC，得：＝＝定值.404. 如果直線l、m與平面α、β、滿足l＝β∩，l∥α,mα和m⊥.那么必有( )⊥且l⊥m ⊥且m∥β∥β且l⊥m ∥β且α⊥解析：∵mα,m⊥. ∴α⊥.又∵m⊥,β∩＝l. ∴m⊥l.∴應(yīng)選A.說明 本題考查線面垂直、面面垂直及綜合應(yīng)用推理判斷能力及空間想象能力.405. 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝a,AD＝3a,且∠ADC＝arcsin，又PA⊥平面ABCD，AP＝：(1)二面角P—CD—A的大小(用反三角函數(shù)表示)；(2)點A到平面PBC的距離.解析：(1)作CD′⊥AD于D′，∴ABCD′為矩形，CD′＝AB＝a，在RtΔCD′D中.∵∠ADC＝arcsin,即⊥D′DC＝arcsin，∴sin∠CDD′＝＝∴CD＝a ∴D′D＝2a∵AD＝3a,∴AD′＝a＝BC又在RtΔABC中，AC＝＝a,∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB.在RtΔPAB中，可得PB＝a.在RtΔPAC中，可得PC＝＝a.在RtΔPAD中，PD＝＝a.∵PC2+CD2＝(a)2+(a)＝8a2＜(a)2∴cos∠PCD＜0，則∠PCD＞90176。解析：因結(jié)論是線線垂直，可考慮用三垂線定理或逆定理∵ ∠ACB=900∴ ∠A1C