【正文】 二面角A—BE—D的大小為arctg409. 若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直線AABBCC1相交于一點O，求證：(1)AB和A1BBC和B1CAC和A1C1分別在同一平面內；(2)如果AB和A1BBC和B1CAC和A1C1分別相交，那么交點在同一直線上(如圖).(1)證明：∵AA1∩BB1＝O,∴AABB1確定平面BAO，∵A、AB、B1都在平面ABO內，∴AB平面ABO；A1B1平面ABO.同理可證，BC和B1CAC和A1C1分別在同一平面內.(2)分析：欲證兩直線的交點在一條直線上，可根據(jù)公理2，證明這兩條直線分別在兩個相交平面內，那么，它們的交點就在這兩個平面的交線上.證明：如圖，設AB∩A1B1＝P；AC∩A1C1＝R；∴ 面ABC∩面A1B1C1＝PR.∵ BC面ABC；B1C1面A1B1C1，且 BC∩B1C1＝Q ∴ Q∈PR,即 P、R、Q在同一直線上.410. 點P、Q、R分別在三棱錐ABCD的三條側棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝：X、Y、Z三點共線.解析： 證明點共線的基本方法是利用公理2，證明這些點是兩個平面的公共點.證明 ∵P、Q、R三點不共線，∴P、Q、R三點可以確定一個平面α.∵ X∈PQ，PQα，∴X∈α，又X∈BC，BC面BCD，∴X∈平面BCD.∴ ，點Y、Z都是這兩個平面的公共點，即點X、Y、Z都在平面α和平面BCD的交線上.411. 直線m、n分別和平行直線a、b、c都相交，交點為A、B、C、D、E、F，如圖，求證：直線a、b、c、m、n共面.解析： 證明若干條直線共面的方法有兩類：一是先確定一個平面，證明其余的直線在這個平面里；二是分別確定幾個平面，然后證明這些平面重合.證明 ∵a∥b,∴過a、b可以確定一個平面α.∵A∈a,aα，∴A∈α,同理B∈a.又∵A∈m，B∈m,∴.∵b∥c,∴過b,c可以確定平面β，同理可證mβ.∵平面α、β都經(jīng)過相交直線b、m,∴平面α和平面β重合，即直線a、b、c、m、n共面.412. 證明兩兩相交而不共點的四條直線在同一平面內.已知：如圖，直線l1，l2，l3，l4兩兩相交，且不共點.求證：直線l1，l2，l3，l4在同一平面內解析：，然后證其它直線也在α內.證明：圖①中，l1∩l2＝P，∴ l1,l2確定平面α.又 l1∩l3＝A,l2∩l3＝C, ∴ C,A∈α.故 l3α.同理 l4α.∴ l1,l2,l3,l4共面.圖②中，l1,l2,l3,l4的位置關系，同理可證l1,l2,l3,l4共面.所以結論成立.413. 證明推論3成立.（如圖）已知：a∥b，求證：經(jīng)過a,b的平面有且只有一個.證明：(存在性)∵a∥b，由平行線的定義知：a、b共面，所以經(jīng)過a、b的平面有一個.(唯一性)，在a上取兩點A、B，在b上取一點C.∵a∥b,∴A、B、C三點不共線，由公理3知過A、B、C三點的平面只有一個，從而過a,b兩直線的平面也是惟一的.，它和這個平面有幾個公共點?為什么?解析：只有一個，假設有兩個公共點，由公理1知該直線上所有點都在這個平面內，這和直線過平面外一點矛盾.，證明：這三條直線在同一平面內.解答：已知：Aa，如圖，B、C、D∈a，證明：AB、AC、AD共面.證明：∵Aa，∴A，a確定平面α，∵B、C、D∈a，aα.∴B、C、D∈α又A∈α.∴AB、AC、ADα.即AB、AC、AD共面.416. 空間可以確定一個平面的條件是( ) 解析： 由推論2和推論3知兩條相交直線或者兩條平行直線才確定一個平面，由推論1知點必在線外才合適，D中三個點不一定不共線，知選C.417. 下列命題正確的是( )，則兩個平面一定是重合平面、β有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線解析：根據(jù)公理公理3知選D.418. 已知四點，無三點共線，則可以確定( ) 解析： 因為無三點共線，所以任意三個點都可以確定平面α，若第四個點也在α內，四個點確定一個平面，當?shù)谒膫€點在α外，.419. 已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側且相距是1，那么這個球的半徑是( ) 解析： 如圖，設球的半徑是r，則πBD2＝5π，πAC2＝8π，∴BD2＝5，AC2＝＝1，設OA＝x.∴x2+8＝r2,(x+1)2+5＝r2.解之，得r＝3故選B.420. 在桌面上有三個球兩兩相切，且半徑都為1，在桌面與三球間放置一個小球，.解析： 如圖，球O為放置在桌面上與已知三球相切的半徑為r的小球，過O作O1O2O3平面的垂線，垂足為H，它一定是ΔO1O2O3的中心，連接O1H，O1O，在RtΔO1OH中，O1H＝，OH＝1r,OO1＝1+r,∴OO12＝O1H2+OH2，即(1+r)2＝()2+(1r)2，解得r＝.421. 地球半徑為R，在北緯45176。＝a.在RtΔPAE中，tan∠PEA＝＝＝.∴∠AEP＝arctan，即二面角P—CD—A的大小為arctan.(2)∵AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB.∵BC∥AD，∴BC⊥平面PAB.∴平面PBC⊥平面PAB，作AH⊥PB于H，∴AH⊥平面PBC.AH為點A到平面PBC的距離.在RtΔPAB中，AH＝＝＝a.即A到平面PBC的距離為a.說明 (1)中輔助線AE的具體位置可以不確定在DC延長線上，而直接作AE⊥CD于E，得PE⊥CD，從而∠PEA為所求，同樣可得結果，避免過多的推算.(2)中距離的計算，在學習幾何體之后可用“等體積法”求.406. 如圖，在二面角α—l—β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD為矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中點.(1)求二面角α—l—β的大??；(2)求證：MN⊥AB；(3)求異面直線PA與MN所成角的大小.解析：(1)連PD，∵ABCD為矩形，∴AD⊥DC，即AD⊥⊥l，∴PD⊥l.∵P、D∈β，則∠PDA為二面角α—l—β的平面角.∵PA⊥AD，PA＝AD，∴ΔPAD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45176。的角，于是AB＝＝≥.∴當θ＝45176。cos∠OAB∴ cos∠A1AO=∴ sin∠A1AO=∴ A1O=A1Asin∠A1AO=∴ ]（4）把線A1A到側面BB1C1C的距離轉化為點A或A1到平面BB1C1C的距離為了找到A1在側面BB1C1C上的射影，首先要找到側面BB1C1C的垂面設平面AA1M交側面BB1C1C于MM1∵ BC⊥AM，BC⊥A1A∴ BC⊥平面AA1M1M∴ 平面AA1M1M⊥側面BCC1B1在平行四邊形AA1M1M中過A1作A1H⊥M1M，H為垂足則A1H⊥側面BB1C1C∴ 線段A1H長度就是A1A到側面BB1C1C的距離∴ 398. 平面α內有半徑為R的⊙O，過直徑AB的端點A作PA⊥α，PA=a，C是⊙O上一點，∠CAB=600，求三棱錐P—OBC的側面積。 （3）連結HC，由（2）知C1H平面ABC， ∴∠C1CH就是側棱CC1與底面所成的角， ∴∠C1CH=60176。．PABC393. 正四棱錐的一個對角面與一個側面的面積之比為，求側面與底面所成的角的大小?！郟A＝AD，由△PAM≌△CBM得PM＝CM，∵N為PC中點，∴MN⊥PC．又MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD．388. 如圖，在四棱錐P—ABCD中，側面PCD是邊長等于2cm的等邊三角形，底面ABCD是面積為2cm2的菱形，∠ADC是銳角. 求證：PA⊥CD證明：設∠ADC=θ，則：由SABCD=2, CD=BC=AB=AD=2，易得θ=60176。 ∴P在平面ABC內的射線為AB的中點H。=.363. 湖結冰時，一個球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一個直徑為24cm,深為8cm的空穴，求該球的半徑.解析：設球的半徑為R，依題意知截面圓的半徑r＝12,球心與截面的距離為d＝R8，由截面性質得：r2+d2＝R2,即122+(R8)2＝R2.得R＝13 ∴該球半徑為13cm.364. 在有陽光時，一根長為3米的旗軒垂直于水平地面，它的影長為米，同時將一個半徑為3米的球放在這塊水平地面上，如圖所示，求球的陰影部分的面積(結果用無理數(shù)表示).解析：由題意知，光線與地面成60176。AD.CM===.設N是BC的中點，則MN⊥BC，MN===，從而SΔBCM=2=，故VABCD=1=.對于對棱相等的四面體，=∴A1O⊥OM，∵OM∩DB＝O，∴A1O⊥平面MBD．370. 點P在線段AB上，且AP∶PB＝１∶２，若A，B到平面α的距離分別為a，b，求點P到平面α的距離．解析：（１）A，B在平面α的同側時，P平面α的距離為；（２）A，B在平面α的異側時，P平面α的距離為．點評　一是畫圖時，只要畫出如右上圖的平面圖形即可，無需畫出空間圖形；二是對第（２）種情形，若以平面為“水平面”，在其上方的點高度為正，在其下方的點高度為負，則第（２）種情形的結論，就是將（１）結論中的b改為(－b)，而無需再畫另一圖形加以求解．371. 若兩直線a與b異面，則過a且與b垂直的平面 （　）（Ａ）有且只有一個 （Ｂ）可能存在也可能不存在（Ｃ）有無數(shù)多個 （Ｄ）一定不存在（Ｂ）解析：若存在，則a⊥b，而由條件知，a不一定與b垂直．372. 在正方體ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，若E是A1C1的中點，則直線CE垂直于 （　）（Ａ）AC ?。ǎ拢〣D 　（Ｃ）A1D ?。ǎ模〢1D1解析：（Ｂ）BD⊥AC，BD⊥CC1，∴BD⊥平面A1ACC1，∴BD⊥CE．373. 定點P不在△ABC所在平面內，過P作平面α，使△ABC的三個頂點到α的距離相等，這樣的平面共有 （?。ǎ粒眰€ （Ｂ）２個 （Ｃ）３個 （Ｄ）４個解析：D過P作一個與AB，AC都平行的平面，則它符合要求；設邊AB，BC，CA的中點分別為E，F(xiàn)，G，則平面PEF符合要求；同理平面PFG，平面PGE符合要求374. P為矩形ABCD所在平面外一點，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三點的距離分別是，則P到A點的距離是 （?。ǎ粒?（Ｂ）２ （Ｃ） （Ｄ）４　解析：（A）設AB＝a，BC＝b，PA＝h，則a2+h2=5, b2+h2=13, a2+b2+h2=17,∴h=1．375.